Homeomorffedd

Anffurfiad di-dor (*continuous deformation*) rhwng myg coffi a thoesen (donyt), sy'n dangos eu bod yn homeomorffig.

O fewn un o feysydd mathemateg, sef topoleg, mae homeomorffedd neu isomorffedd topolegol yn ffwythiant di-dor rhwng gofod topolegol sydd a ffwythiant gwrthdro di-dor. Mae homeomorffedd yn isomorffiadau sy'n ymwneud â gofod, h.y. maent yn fap mathemategol (math o ffwythiant) o ofod.

Mae unrhyw ddau ofod gyda homeomorffedd rhyngddynt yn cael eu galw'r homeomorffig, ac o berspectif topoleg, maen nhw yr un fath. Gair cyfansawdd, groegaidd yw homeomorffedd: ὅμοιος (homoios) = "tebyg neu'r un fath" a μορφή (morphē) = "siâp neu ffurf" ac fe'i bathwyd gan Henri Poincaré yn 1895.^[1]^[2]

Yn gyffredinol, mae gofod topolegol yn wrthrych geometrig, ac mae'r homeomorffedd yn ymestyn neu'n blygiad di-dor y gwrthrych nes ei fod yn siâp newydd. Felly, mae sgwâr a chylch yn homeomorffig i'w gilydd, ond nid yw sffêr a torsws (sef gwrthrych tebyg i doesen). Fodd bynnag, gall y disgrifiad hwn fod yn gamarweiniol; nid yw rhai anffurfiadau di-dor yn homeomorffig, megis anffurfiad llinell i mewn i bwynt. Nid yw rhai homeomorffeddau yn anffurfiadau di-dor ychwaith, e.e. yr homeomorffedd rhwng cwlwm treffoil a chylch.

Diffiniad

Gelwir y ffwythiant $f : X \to Y$ rhwng dau ofod topolegol $(X, 𝒯_{X})$ a $(Y, 𝒯_{Y})$ yn homeomorffedd os oes ganddo'r nodweddion hyn:

mae $f$ yn bijection (yn ffwythiant mewnsaethol ac yn ffwythiant arsaethol),
mae $f$ yn barhaus,
mae'r ffwythiant gwrthdro (inverse function) $f^{- 1}$ yn barhaus (lle mae $f$ yn fap agored).

Gelwir y ffwythiant lle ceir y tair nodwedd yma yn bicontinuous. Os yw'r ffwythiant yn bodoli dywedir bod $(X, 𝒯_{X})$ a $(Y, 𝒯_{Y})$ yn "homeomorffig".

Enghreifftiau

Mae'r cyfwng $(a, b)$ yn homeomorffig i'r rhifau real $𝐑$ am unrhyw $a < b$ . Yn yr achos hwn, mae'r mapio di-dor yn cael ei roi gan $f (x) = \frac{1}{a - x} + \frac{1}{b - x}$ , a rhoddir mapiau gwahanol drwy newid graddfa a thrawsfudo fersiynau o'r ffwythiannau $tan$ neu $arg tanh$ .
Mae'r uned 2-ddisg $D^{2}$ a'r uned sgwâr yn R² yn homeomorffig; gan y gellir i anffurfio yn uned sgwâr. Enghraifft o fapio di-dor o'r sgwâr i'r ddisg yw (mewn cyfesutynnau polar) $(ρ, θ) \mapsto (ρ max (| \cos θ |, | \sin θ |), θ)$ .

Cyfeiriadau

↑ "Analysis Situs selon Poincaré (1895)". serge.mehl.free.fr. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 11 Mehefin 2016. Cyrchwyd 29 Ebrill 2018.
↑ Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. t. 67.

[1] "Analysis Situs selon Poincaré (1895)". serge.mehl.free.fr. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 11 Mehefin 2016. Cyrchwyd 29 Ebrill 2018.

[2] Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. t. 67.

[1]

[2]