Immersion compacte

En géométrie différentielle la notion d'immersion compacte précise celle d'immersion, l'application d'une variété différentielle dans une autre. Il existe des variantes de ce concept adaptées à la topologie générale et à l'analyse fonctionnelle. La notation pour exprimer que « $X$ est injecté de manière compacte dans $Y$ » est $X\subset \subset Y$ ou $X\Subset Y$.

En analyse fonctionnelle, cette notion concerne généralement des espaces de Banach constitués de fonctions.

Plusieurs théorèmes d'injection de Sobolev sont des théorèmes d'injection compacte.

Lorsqu'une injection n'est pas compacte, elle peut néanmoins posséder une propriété apparentée, mais plus faible : l'Immersion co-compacte (en).

Définition

Espaces topologiques

Soit $X$ un espace topologique, et soient $V$ et $W$ des sous-ensembles de $X$. On dit que $V$ est immergé de manière compacte dans $W$ si :

• $V\subseteq \operatorname {Cl} (V)\subseteq \operatorname {Int} (W)$, où $\operatorname {Cl} (V)$ désigne l'adhérence de $V$ et $\operatorname {Int} (W)$ désigne l'intérieur de $W$ ;
• $\operatorname {Cl} (V)$ est compact.

Pour les espaces séparés (espaces de Hausdorff) cela équivaut à l'existence d'un ensemble compact $K$ tel que $V\subseteq K\subseteq \operatorname {Int} (W)$.

Espaces normés

Soient $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels normés, munis respectivement des normes $\|\cdot \|_{X}$ et $\|\cdot \|_{Y}$, et supposons que $X\subseteq Y$. On dit que $X$ est imergé de manière compacte dans $Y$ si :

• $X$ est immergé de manière compacte dans $Y$ ; c'est-à-dire qu'il existe une constante $C$ telle que $\|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}$ pour tout $x\in X$ ;
• L'injection de $X$ dans $Y$ est un opérateur compact : toute partie bornée dans $X$ est totalement bornée dans $Y$ ; autrement dit, toute suite contenue dans un tel ensemble borné admet une sous-suite qui est une suite de Cauchy pour la norme $\|\cdot \|_{Y}$.

Espaces de Banach

Si $Y$ est un espace de Banach, une définition équivalente consiste à dire que l'opérateur d'injection (l'application identité) $i\colon X\to Y$ est un opérateur compact.

Bibliographie

• (en) Robert A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, 1975 (ISBN 978-0-12-044150-1)
• (en) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998 (réédition de 2010) (ISBN 0-8218-0772-2 et 978-0-8218-4974-3, lire en ligne)
• (en) M. Renardy et R. C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1992 (ISBN 3-540-97952-2)

Notes et références

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compact embedding » (voir la liste des auteurs).