תא יחידה

בגאומטריה, ביולוגיה, מינרלוגיה ופיזיקה של מצב מוצק, משתמשים במושג תא יחידה כדי לתאר את אבני הבניין של סריג גבישי. תא זה מגדיר את המבנה המחזורי של הסריג באמצעות כמה וקטורים, שבאמצעותם ניתן לשחזר את כל המבנה במרחב.^[1] למרות שמו, תא יחידה איננו "יחידתי" במובן של גודל קבוע או סטנדרטי. למעשה, המושג הקרוב ביותר לרעיון מתמטי כמו 'וקטור יחידה' הוא תא פרימיטיבי – התא הקטן ביותר האפשרי עבור סריג מסוים, שנפחו מוגדר באופן חד־משמעי, והוא משמש כיחידה בסיסית שממנה ניתן להרכיב תאים גדולים יותר.

הגדרה זו חיונית לחקר גבישים, שכן בחירת תא יחידה מתאים מאפשר לחשוף את הסימטריה של החומר ולבצע חישובים יעילים של צפיפות, נפח ותכונות פיזיקליות נוספות.

המושג משמש בעיקר לתיאור מבנה גבישי בשניים ובשלושה ממדים, אם כי יש לו משמעות בכל מספר ממדים. סריג ניתן לאפיון על פי הגאומטריה של תא היחידה שלו, שהוא קטע מן הריצוף (מקבילית או מקבילון) אשר באמצעות הזזות בלבד מסוגל לייצר את כל הריצוף.

ישנם שני סוגים מיוחדים של תאי יחידה: תא פרימיטיבי ותא קונבנציונלי.

התא הפרימיטיבי הוא תא יחידה המתאים לנקודת סריג אחת בלבד, והוא הקטן ביותר האפשרי.^[2] במקרים מסוימים, הסימטריה המלאה של מבנה גבישי אינה ניכרת מתוך התא הפרימיטיבי. במצבים כאלה מקובל להשתמש בתא קונבנציונלי. תא קונבנציונלי (שיכול להיות פרימיטיבי או לא) הוא תא יחידה המשקף את הסימטריה המלאה של הסריג, ולעיתים הוא כולל יותר מנקודת סריג אחת. תאי יחידה קונבנציונליים מתוארים כמקבילונים (מקבילון) במרחב מממד n.

תא פרימיטיבי

תא פרימיטיבי הוא תא יחידה המכיל בדיוק נקודת סריג אחת. באופן כללי, בחישוב נקודות סריג שבתוך תא יחידה נוהגים לייחס לנקודות המשותפות למספר תאים חלק יחסי: נקודה השייכת ל־n תאים נספרת כ־ $1 / n$ בכל אחד מהם. כך למשל, בתא פרימיטיבי תלת־ממדי שבו נקודות הסריג נמצאות רק בקודקודים, כל אחת מהנקודות נספרת כחלק של $1 / 8$ , משום שהיא משותפת לשמונה תאים סמוכים.^[3] תפיסה חלופית היא לבחור באופן עקבי רק אחת מתוך $n$ נקודות הסריג שתשתייך לתא היחידה הנתון (כך ש - $n-1$ נקודות הסריג האחרות שייכות לתאי יחידה סמוכים).

מיקום נקודת הסריג בתא	מספר התאים החולקים אותה	החלק הנספר לכל תא
קודקוד	8	$1 / 8$
מקצוע (קצה)	4	$1 / 4$
פאה	2	$1 / 2$
פנים התא	1	1

וקטורי העתקה הפרימיטיביים ${\vec{a}}_{1} {\vec{a}}_{2} {\vec{a}}_{3}$ מתוחים על תא הסריג הקטן ביותר האפשרי עבור סריג תלת־ממדי נתון, ומשמשים להגדרת וקטורי העתקה של הגביש.

\vec{T} = u_{1} {\vec{a}}_{1} + u_{2} {\vec{a}}_{2} + u_{3} {\vec{a}}_{3},

כאשר $u_{1} u_{2} u_{3}$ מספרים שלמים.^[4]

מאחר שהתא הפרימיטיבי מוגדר על ידי הווקטורים הפרימיטיביים ${\vec{a}}_{1} {\vec{a}}_{2} {\vec{a}}_{3}$ , נפח התא הפרימיטיבי $V_{P}$ נקבע על פי המקבילון הנבנה מן הצירים הללו:

V_{p} = | {\vec{a}}_{1} \cdot ({\vec{a}}_{2} \times {\vec{a}}_{3}) | .

בדרך כלל, בתאים פרימיטיביים בדו־ממד ובתלת־ממד מקובל לבחור צורה גאומטרית פשוטה – מקבילית במישור או מקבילון במרחב – כך שבקודקודי הצורה ממוקמות נקודות הסריג (או אטומים במודל הגבישי). הבחירה בתא פרימיטיבי איננה יחידה; ישנן דרכים שונות להגדיר אותו עבור אותו סריג. עם זאת, נפחם של כל התאים הפרימיטיביים האפשריים נקבע תמיד לפי אותו ביטוי מתמטי, ולכן הוא קבוע עבור סריג נתון.^[5]

תא ויגנר-זייץ

ערך מורחב – תא ויגנר-זייץ

בנוסף לתאי היחידה הפרימיטיביים בצורת מקבילון, לכל סריג בראבה קיים גם סוג אחר של תא פרימיטיבי, הנקרא תא ויגנר-זייץ. בתא זה נקודת הסריג נמצאת במרכז התא, וברוב הסריגים הצורה המתקבלת איננה מקבילית או מקבילון. תא ויגנר–זייץ הוא למעשה מקרה פרטי של תא וורונוי. תא ויגנר-זייץ של הסריג ההפוך במרחב התנע נקרא אזור ברילואן.

תא קונבנציונלי

עבור כל סריג נקבע תא קונבנציונלי, שנבחר על ידי קריסטלוגרפים בהתאם לשיקולי נוחות, חישוב ותיאור סימטריה.^[6] בתאים קונבנציונליים עשויות להופיע נקודות סריג נוספות, הממוקמות במרכזי הפאות או בלב התא. מספר נקודות הסריג, כמו גם נפחו של התא הקונבנציונלי, הם כפולה שלמה (1, 2, 3 או 4) מהתא הפרימיטיבי.^[7]

שני ממדים

בכל סריג דו־ממדי, תאי היחידה מקבלים צורה של מקביליות. במקרים מיוחדים ייתכנו זוויות ישרות, צלעות שוות, או שילוב של שני התנאים. מתוך חמשת סריגי בראבה האפשריים בדו־ממד, ארבעה מתוארים באמצעות תאים פרימיטיביים קונבנציונליים, כפי שמוצג להלן.

תא פרימיטיבי קונבנציונלי
שם הצורה	מַקבִּילִית	מַלבֵּן	מְרוּבָּע	מְעוּיָן
סריג בראבה	פרימיטיבי אלכסוני	מלבני פרימיטיבי	ריבוע פרימיטיבי	משושה פרימיטיבי

הסריג המלבני המרכזי יכול להיתאר גם באמצעות תא פרימיטיבי בצורת מעוין. עם זאת, כדי לאפשר הבחנה נוחה יותר בין הסריגים על פי הסימטריה שלהם, נהוג להציגו באמצעות תא קונבנציונלי הכולל שתי נקודות סריג.

תא פרימיטיבי
שם הצורה	מְעוּיָן
תא קונבנציונלי
סריג בראבה	מלבני ממורכז

שלושה ממדים

בכל סריג תלת־ממדי, תאי היחידה הקונבנציונליים הם בעלי צורת מקבילון. במקרים מיוחדים מתקבלות זוויות ישרות, צלעות שוות, או שילוב של שני התנאים גם יחד. מתוך ארבעה־עשר סריגי בראבה האפשריים בתלת־ממד, שבעה מתוארים באמצעות תאים פרימיטיביים קונבנציונליים, כפי שמוצג להלן.

תא פרימיטיבי קונבנציונלי
שם הצורה	מַקבִּילוֹן	מנסרה מלבנית אלכסונית	קובייה מלבנית	קובייה מרובעת	טרפזוהדרון טריגונלי	קוּבִּיָה	מנסרה מעוינית ימנית
סריג בראבה	טריקליני פרימיטיבי	מונוקליני פרימיטיבית	אורתורומבי פרימיטיבי	טטרגונלי פרימיטיבי	הקסגונלי פרימיטיבי	קוביה פרימיטיבית	משושה פרימיטיבי

שבעת סריגי בראבה האחרים, המכונים סריגים מרכזיים, יכולים להיתאר גם הם באמצעות תאים פרימיטיביים בצורת מקבילון. עם זאת, כדי לאפשר הבחנה פשוטה וברורה יותר בין סוגי הסימטריה, נהוג לייצג אותם באמצעות תאים קונבנציונליים, המכילים יותר מנקודת סריג אחת.

תא פרימיטיבי
שם הצורה	מנסרה מעוינית אלכסונית	מנסרה מעוינית ימנית
תא קונבנציונלי
סריג בראבה	מונוקליני ממורכז בסיס	אורתורומבי ממורכז בסיס	אורתורומבי ממוקד גוף	אורתורומבי ממוקד פנים	טטרגונלי ממורכז גוף	קוביה ממוקדת גוף	קוביה ממורכזת פנים

ראו גם

קישורים חיצוניים

תא יחידה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ Ashcroft, Neil W. (1976). "Chapter 4". Solid State Physics. W. B. Saunders Company. p. 72. ISBN 0-03-083993-9.
↑ Simon, Steven (2013). The Oxford Solid State Physics (1 ed.). Oxford University Press. p. 114. ISBN 978-0-19-968076-4.
↑ "DoITPoMS – TLP Library Crystallography – Unit Cell". Online Materials Science Learning Resources: DoITPoMS. University of Cambridge.
↑ Kittel, Charles (11 בנובמבר 2004). Introduction to Solid State Physics (8 ed.). Wiley. p. 4. ISBN 978-0-471-41526-8.
↑ Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "The AFLOW Library of Crystallographic Prototypes: Part 1". Computational Materials Science. Elsevier BV. 136: S1 – S828. arXiv:1806.07864. doi:10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN 0927-0256.
↑ Aroyo, M. I., ed. (2016-12-31). International Tables for Crystallography. Chester, England: International Union of Crystallography. p. 25. doi:10.1107/97809553602060000114. ISBN 978-0-470-97423-0.
↑ Ashcroft, Neil W. (1976). Solid State Physics. W. B. Saunders Company. p. 73. ISBN 0-03-083993-9.

[1] Ashcroft, Neil W. (1976). "Chapter 4". Solid State Physics. W. B. Saunders Company. p. 72. ISBN 0-03-083993-9.

[2] Simon, Steven (2013). The Oxford Solid State Physics (1 ed.). Oxford University Press. p. 114. ISBN 978-0-19-968076-4.

[doitpoms-3] "DoITPoMS – TLP Library Crystallography – Unit Cell". Online Materials Science Learning Resources: DoITPoMS. University of Cambridge.

[4] Kittel, Charles (11 בנובמבר 2004). Introduction to Solid State Physics (8 ed.). Wiley. p. 4. ISBN 978-0-471-41526-8.

[5] Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "The AFLOW Library of Crystallographic Prototypes: Part 1". Computational Materials Science. Elsevier BV. 136: S1 – S828. arXiv:1806.07864. doi:10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN 0927-0256.

[6] Aroyo, M. I., ed. (2016-12-31). International Tables for Crystallography. Chester, England: International Union of Crystallography. p. 25. doi:10.1107/97809553602060000114. ISBN 978-0-470-97423-0.

[7] Ashcroft, Neil W. (1976). Solid State Physics. W. B. Saunders Company. p. 73. ISBN 0-03-083993-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]