Funzione lineare

In matematica, per funzione lineare si intende:

Nel calcolo infinitesimale, una funzione polinomiale di grado zero o uno.^[1]
In algebra lineare e analisi funzionale, una trasformazione lineare.^[2]

Funzione polinomiale

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale $x$ a valori reali della forma:

f (x) = m x + c,

con $m$ e $c$ costanti reali. Se $m > 0,$ la funzione è strettamente crescente; se $m < 0,$ la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:

y = m x + c .

La costante $m$ viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, invece $c$ è chiamata intercetta con l'asse delle $y$ . In effetti la retta interseca l'asse $O y$ nel punto $(0, c)$ ; la retta inoltre interseca l'asse $O x$ nel punto $(- \frac{c}{m}, 0)$ , come si ricava imponendo $y = 0$ e risolvendo la equazione $0 = m x + c$ ; quando però $m = 0$ la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse $O x$ solo all'infinito (per formalizzare opportunamente questa idea è necessario introdurre il piano proiettivo).

Esempi

\begin{matrix} f (x) & = 2 x + 1, & (m = 2; c = 1); \\ f (x) & = x, & (m = 1; c = 0); \\ f (x) & = 9, & (m = 0; c = 9); \\ f (x) & = - 3 x + 4, & (m = - 3; c = 4) . \end{matrix}

Si osserva che al crescere di $m$ a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, invece facendo assumere a $m$ valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante $c$ la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di $c$ partendo da 0.

Generalizzazioni

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali $x$ e $y$ a valori reali si intende una funzione della forma:

f (x, y) = m x + n y + c .

Essa nello spazio tridimensionale riferito a una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale $O z$ nel punto $(0, 0, c)$ , l'asse $O x$ in $(- \frac{c}{m}, 0, 0)$ , o all'infinito se $m = 0,$ e l'asse $O y$ in $(0, - \frac{c}{n}, 0)$ , o all'infinito se $n = 0$ .

Trasformazione lineare

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ , si intende una funzione che soddisfa le due proprietà:

f (x + y) = f (x) + f (y), \forall x, y \in V,

f (a x) = a f (x), \forall a \in K, \forall x \in V,

rispettivamente di additività e omogeneità.

Equivalentemente si può chiedere che:

f (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) = a_{1} f (x_{1}) + a_{2} f (x_{2}), \forall x_{1}, x_{2} \in V, \forall a_{1}, a_{2} \in K .

In questa definizione $x$ , $y$ , $x_{1}$ e $x_{2}$ possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo $K$ o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo $R$ . La funzione $f$ a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come $ℝ$ , $ℂ$ , $ℝ^{n}$ , $ℂ^{n}$ .

Per la funzione considerata inizialmente

f (x) = m x + c

i due membri dell'uguaglianza sono

m (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) + c e a_{1} (m x_{1} + c) + a_{2} (m x_{2} + c)

e questi sono uguali se e solo se $c = 0$ .

Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

Esempi

\begin{matrix} f (x) & = x; \\ f (x) & = - 5 x; \\ f (x) & = (4 x, 0, - x); \\ f (x, y) & = 3 x + 7 y; \\ f (x, y) & = (x - 4 y, 2 x, 9 x + 2 y) . \end{matrix}

Note

↑ Stewart 2012, p. 23
↑ Shores 2007, p. 71

Bibliografia

(EN) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
(EN) Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
(EN) James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
(EN) Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Linear Function, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) L.D. Kudryavtsev, Linear function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	GND (DE) 4744418-6

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[1] Stewart 2012, p. 23

[2] Shores 2007, p. 71

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