Topologie

D'Topologie (gr. τόπος, 'Plaz', and λόγος, 'Léier') ass e Gebitt vun der Mathematik, dat sech mat Eegenschafte vu geometreschen Objeten befaasst, déi ënner kontinuéierlechen Deformatiounen onverännert bleiwen.

De Begrëff Topologie gouf fir d'éischt ëm 1840 vum Johann Benedict Listing gebraucht.

Grondbegrëffer

Topologesche Raum

En topologesche Raum ass duerch en Tupel $(X, 𝒪)$ definéiert, wou $X$ e belibegen net eidelen Ensembel ass an $𝒪$ en Ensembel vu Sousensemble vun $X$ mat gewëssenen Eegenschaften. D'Elementer vun $𝒪$ nennt een oppe Sousensemble vun $X$ a se musse follgend Axiomer erfëllen:

Den eidelen Ensembel an $X$ selwer sinn oppen.
D'Unioun vu belibeg villen oppenen Ensemblen ass oppen.
De Schnëtt vun endlech villen oppenen Ensemblen ass oppen.

D'Komplement $X ∖ O$ vun engem oppenen Ensembel $O$ ass en zouenen Ensembel. En Ensembel deen opp an zou ass nennt een zoppen^[Quell?].

Wann $Y \subseteq X$ e belibege Sousensembel ass, dann nennt een d'Clôture $\overline{Y}$ vun $Y$ dee klengsten zouenen Ensembel, deen $Y$ enthält, an dat Bannescht $\overset{\circ}{Y}$ vun $Y$ dee gréissten oppenen Ensembel, deen an $Y$ enthalen ass. D'Differenz $\partial Y = \overline{Y} ∖ \overset{\circ}{Y}$ vun deenen zwee nennt een de Bord vun $Y$ . Dat Baussecht vun $Y$ ass d'Komplement vun der Clôture, also $X ∖ \overline{Y}$ .

Kontinuéierlech Funktiounen

Eng Funkioun $f : X \to Y$ tëscht topologesche Raim $X$ an $Y$ ass kontinuéierlech, wann d'Urbild $f^{- 1} (O)$ vun all oppenem Ensembel $O$ an $X$ en oppenen Ensembel an $Y$ ass. Wann $f$ bijektiv ass an den Inverse $f^{- 1}$ och kontinuéierlech ass, dann nennt een $f$ en Homeomorphismus, an $X$ an $Y$ sinn dann homeomorph.

Konvergenz

An engem topologesche Raum kann ee Konvergenz definéieren. Eng Suite $(x_{n})_{n \in ℕ}$ an engem topologesche Raum $X$ konvergéiert géint eng Limitt $x \in X$ , wann et fir all oppenen Ensembel $U \subseteq X$ , deen $x$ enthält, eng Zuel $n \in ℕ$ gëtt, soudatt fir all $m \geq n$ gëllt, dass $x_{m} \in U$ . A Wierder seet een, dass fir all Ëmgebung $U$ vun $x$ d'Suite iergendwann an $U$ läit.

Metresch Raim

All metresche Raum huet eng induzéiert Topologie, där hir oppen Ensemblen Unioune vun oppene Bäll sinn. Eng Topologie, déi vun iergendenger Metrik induzéiert gëtt, nennt ee metresch Topologie. D'Konvergenz am Sënn vun der Metrik ass dann equivalent zur Konvergenz am Sënn vun der induzéierter Topologie.

Mannifalten

Topologesch Raim kënnen enorm pathologesch^[onkloer] sinn, z. B. dem Alexander seng behaarte Sphär. Par conter hu Mannifalten, wéi z. B. d'Sphär, den Torus oder d'Klein-Fläsch, vill méi agreabel Eegenschaften.

Um Spaweck

Commons: Topologie – Biller, Videoen an Audiodateien

Topologie

Grondbegrëffer

Topologesche Raum

Kontinuéierlech Funktiounen

Konvergenz

Metresch Raim

Mannifalten

Deelgebitter

Allgemeng Topologie

Differentialtopologie

Algebresch Topologie

Um Spaweck