変なジュリア集合

どうも、108Hassiumです。

ジュリア集合には、私が個人的に「変な領域」と呼んでいるものが存在しているものがあります。

といってもどういう領域なのか、どこがどう変なのか上手く言語化できず、数学的に定式化することもできていません。

なので、とりあえず画像を見ていただいて感覚だけでも共有してもらいたいと思います。(画像の説明は必ず画像の下に書きます)

まず、これが変な領域のあるジュリア集合です。

これは変じゃない。

これは真ん中に変な領域がある。

これはどこも変じゃない。

一般に、$z^n+c$のジュリア集合は変な領域を持たないっぽいです。

ただし、

このジュリア集合の中央部には、

変な領域と似た形があります。

もしかしたらよく探したら$z^n+c$にも変な領域があるのかもしれません。

このジュリア集合は、よく見ると変な領域(十字型)と変じゃない領域(三角形)が混在しています。

これは全ての(内側の)領域が変な領域になっている。

このように、全体が変な領域になったり変じゃない領域と混ざったりしますが、何故そういった違いが出るのかは不明です。

これは真ん中($z_0=0$)に変な領域がある。

これは真ん中じゃない位置($z_0=1$)に変な領域がある。

変な領域と変じゃない領域が混在するジュリア集合でも、臨界点のうち少なくとも一つは変な領域の中にあるようです。

ちなみに、マンデルブロ集合上で変なジュリア集合に対応する場所はこんな感じになっています。

円が細く割れたような領域が、変なジュリア集合を生成する$c$のある領域です。

他の関数でも、変な領域が生成されるパラメータは細い破片状の領域の中にあることが多いです。

なお、

臨界点じゃない値を初期値にすると、変な領域を生成しないはずの関数のマンデルブロ集合にも破片状領域が出現することがあります。なんで？

これは変な領域がある・・・ように見えますが、これは他のやつとはなんか違う気がします。

余談ですが、これまでに開催してきた高周期ジュリア集合選手権で扱ってきた関数の内、変な領域の出現が確認されているものは以下の2つです。

• $(z^2+d)^2+c$(第1回)

• $\frac{z^3}{3}-\frac{z^2}{2}+c$(第2回)

※☟高周期ジュリア集合選手権のリンク

これは変な領域がある・・・ように見えますが、よく見ると中央の1個以外変な領域が見当たりません。

実はこれは普通のジュリア集合ではなく、以下のようなアルゴリズムで描画した図形です。

1. 複素数$c$を選ぶ

2. $z_{n+1}=z_n^2+0.3+0.5i$、$z_0=\underline{c^2+0.1+0.5i}$という数列を計算し、発散速度に応じて$c$を彩色する

下線部が$z^2+0.3+0.5i$の普通のジュリア集合との違いで、初期値に細工をすることで変な領域っぽい形が出現します。(本物の変な領域との関係は不明です)

周期発散関数のジュリア集合は、穴の形が変な領域みたいになることがよくありますが、関係があるかは不明です。

※☟「周期発散」の説明はこちら。

ちなみに、

穴じゃなく「内側」の方が変な領域になるケースもちゃんとあります。

これは変じゃない。

これは変。

$c(z+\frac{1}{z})+d$という形の関数のジュリア集合は$|c|<1$のときと$|c|>1$のときで形が大きく異なるのですが、変な領域は何故か$|c|<1$のときでしか確認されていません。(私の探し方が甘くて見つかってないだけの可能性もあります)

これは変じゃない・・・のか？

これは変・・・なのか？

何これ？

分数関数のジュリア集合では多項式関数ではありえないような形の領域が出現することがあり、変な領域について(感覚で)語るのは難しいようです。