今週のフラクタル40　(B(z^3)+c)

どうも、108Hassiumです。

今回は$B(z^3)+c$($B(z)=|x|+i|y|$、$x$と$y$は$z$の実部と虚部)に関するフラクタル図形をお届けします。

B(z^3)+c

式の形は以前紹介した$B(z)^3+c$とそっくりですが、マンデルブロ集合の形状は「斜めの対称軸が1本だけ」という対称性以外特に似てはいないようです。

$B(z)^3+c$のジュリア集合には「実軸と虚軸について線対称」という対称性しかありませんでしたが、$B(z^3)+c$のジュリア集合は6回回転対称になるようです。

$c$の実部と虚部が等しいとき、$B(z^3)+c$のジュリア集合は12回回転対称になるようです。

いつものです。

$z_n$が周期数列に収束していかない領域のあるジュリア集合です。

実は88周期の$B(z^3)-0.9-0.9i$のジュリア集合にも、同じような領域が存在します。

B(z^n)+c

$B(z^n)+c$という形の関数の特徴を調べてみました。

$B(z)^n+c$と同じく「$n$が奇数のときは斜めの対称軸を1本持ち、偶数のときは何の対称性もない」という特徴があるようですが、$B(z)^n+c$と違って対称軸の向きは変わらないようです。

また、$n=2$のときのマンデルブロ集合は以前紹介した「バッファローフラクタル」と同じ形になるようです。

ジュリア集合は、$2n$回回転対称かつ線対称になるようです。