今週のフラクタル20　((-c^4+c^3+c-1)/(z^3-1)+c)

どうも、108Hassiumです。

今週は$\frac{-c^4+c^3+c-1}{z^3-1}+c$に関するフラクタル図形をお届けします。

(-c^4+c^3+c-1)/(z^3-1)+c

$\frac{-c^4+c^3+c-1}{z^3-1}+c$という関数は、1→∞→c→1というサイクルを持つ3周期発散関数です。

$\frac{-c^{n+1}+c^n+c-1}{z^n-1}+c$は「臨界点は$z=0$のみで、多重度は$n-1$」「ジュリア集合は$n$回回転対称」という性質を持ち、3周期発散関数におけるマルチブロのような存在です。

三つ葉型の穴があるジュリア集合です。

三つ葉穴がないジュリア集合です。

$c$の値が$\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$(≒-0.5±0.87i)に近ければ近いほど、$\frac{-c^4+c^3+c-1}{z^3-1}+c$のジュリア集合はサイズがデカくなっていくようです。

多分$c=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$のとき$-c^4+c^3+c-1=0$になるのと関係があって、理屈としては$c(\frac{z^2}{2}+\frac{1}{z})$のジュリア集合で起きる現象と同じだと思うのですが、同じく$-c^4+c^3+c-1=0$の解である$c=1$の場合は何故か同じ現象は起きません。

※☟$c(\frac{z^2}{2}+\frac{1}{z})$のジュリア集合の大きさについて言及している記事

いつものやつです。

(-c^4+c^3+c-1)/(con(z)^3-1)+c

$\text{con}(x+iy)=x-iy$

複素共役を混ぜると三つ葉穴どころか発散領域自体が消え(中央の穴とそこから6方向にのびる領域は誤判定によるものです)、全く違う見た目になりました。

ジュリア集合にも、やはり3周期発散の特徴は現れません。

例外として、$c$が実数のとき($c^6$が実数のとき？)は3周期発散になるようです。

3周期発散にならない場合、2種類の吸引的サイクルが存在する場合があるようです。

不安定領域と安定領域が混在することもあるようです。

(-c^4+c^3+c-1)/(B(z)^3-1)+c

※$B(x+iy)=|x|+i|y|$

右下の領域($c$の実部も虚部も正)にだけ発散領域が現れました。

$c$が右下にある場合でも、3周期発散っぽい見た目になるときとならないときがあるようです。

$c$が左下にない場合はやはり収束領域自体が現れず、また$\frac{-c^4+c^3+c-1}{\text{con}(z)^3-1}+c$と同様に2種類の安定領域が混在することもあるようです。

安定領域と不安定領域と発散領域が混在するジュリア集合です。