チャイティンのオメガ ――「究極の答え」はなぜ手に入らないのか〈考察編#20〉

理解とは、短くすることである

世界のすべてを説明し尽くす、ただ一つの答え。あらゆる謎を解く最後の鍵。多くの人が一度はそういうものに憧れる。だがその究極の答えは、なぜか永遠に手の届かないところにあり続ける。これは努力が足りないからでも、人類がまだ若いからでもない。「究極の答え」という発想そのものに、原理的な無理が組み込まれている。その無理を、ある数学者の洞察から辿ってみたい。

数学者チャイティン（Gregory Chaitin）は、科学の営みを一言で言い切った。理解とは圧縮である、と。理論とは、データを丸ごと再現できて、しかもデータそのものより短いプログラムのことだ。たとえば惑星の位置を何千年ぶんも書き並べた巨大な表があるとする。それを数行の運動方程式に置き換えられたとき、人は「理解した」と言う。逆に、表をそのまま暗記しても理解とは呼ばない。暗記は元のデータと同じ長さをもち、一文字も短くなっていないからだ。短くできること、それが理解の証である。

この見方は古い直観を言い当ててもいる。哲学者ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leibniz）は『形而上学叙説』（Discours de métaphysique、1686年）で、紙の上に打たれた点はどんなにばらばらでも必ず何らかの数式で結べる、と書いた。問題は、その式が十分に単純かどうかだ。式がデータと同じくらい複雑なら、それは法則ではない。短さこそが、ただのあてはめと本物の法則を分ける。チャイティンはこの直観を、現代の情報理論の言葉で正確に復元したのだった。

究極は、名指すことさえできない

ここから最初の壁が見えてくる。もし理解が圧縮なら、究極の理解とは「これ以上は一文字も短くできない、最短の説明」のはずだ。ところがチャイティンの仕事が示したのは、その最短の長さは原理的に計算できないということだった。

ある説明について「これが本当に最短か」を確かめる一般的な手続きは、存在しない。さらに踏み込めば、ある対象が自分の持っている知識の枠組みより複雑であることすら、その枠組みの内側からは証明できない。つまり、たとえ偶然に究極の答えに行き当たったとしても、それが究極だと内側から知る方法がない。究極の答えは、遠くにあるだけではない。到達したかどうかを判定する物差しが、そもそも手元にないのだ。地平線のように、近づいた分だけ遠ざかる。

抜け道としての「あえて捨てる」

ここで一つの抜け道を考えたくなる。完全な再現にこだわるから無理が出るのではないか。少しの誤差を許せば、答えは手に入るのではないか。

これは画像のJPEG圧縮と同じ発想だ。写真を完全に保存しようとすればファイルは巨大になる。だがJPEGは、人間の目がほとんど気づかない細かい成分を思い切って捨てる。その結果、見た目はほぼ変わらないまま、ファイルは何分の一にも縮む。完全な複製ではない。捨てている。それでも「十分に同じ」だと感じられる。

理解の多くは、実はこの「あえて捨てる」側にある。完璧な要約は元の文章と同じ長さになってしまう。良い要約とは、細部を大胆に切り捨て、骨格だけを残したものだ。良いモデル、良い比喩も同じで、現実の枝葉を削り落とすからこそ、隠れていた仕組みが浮かび上がる。何もかも保存する完全な再現は、理解ではなく単なる写しでしかない。理解は、むしろ積極的に捨てる行為なのだ。

しかしこの抜け道は、究極の答えを取り戻しはしない。代わりに、究極というものの居場所をずらす。完全再現の世界では、究極は「対象がもつ最短の長さ」という、対象の側の性質だった。あえて捨てる世界では、どこまで捨ててよいかという基準を先に決めなければ、最良の答えが定まらない。基準が変われば、最良の答えも変わる。

ここが肝心な点だ。何を捨て、何を残すか。その判断は、対象の中には書かれていない。JPEGがうまくいくのは、「人間の目が気にしない部分」という捨て方の基準を採用しているからだ。目的が変われば、同じファイルが今度は肝心な情報を捨てた劣化品になる。つまり「あえて捨てる」とは、目的や観点を答えの中に持ち込むことにほかならない。究極は、対象がもつ唯一絶対の性質から、何を捨てるかという選ぶ行為の性質へと、静かに移る。手は届くようになる。その代わり、唯一性と絶対性を失う。

すべての対象が、うまく圧縮できるわけではない

ただし、この「あえて捨てる」がいつでも通用するわけではない。対象によっては、少し捨てただけで全体が崩れてしまうものがある。

写真がJPEGでうまく縮むのは、そこに捨ててよい余分（冗長）と、捨てられない芯がきれいに分かれているからだ。空の青のグラデーションは荒くしても気づかれない。だが対象の中には、すべての部分が等しく意味を担っていて、余分と芯の区別がつかないものがある。チャイティン自身が見つけた、ある特別な数がその極端な例だ。

この数はオメガ（Ω）と呼ばれる。少し込み入って感じるなら読み飛ばしてかまわない。本筋の理解は損なわれない。オメガとは、チャイティンが定義した「停止確率」のことだ。コンピュータにでたらめなプログラムを与えたとき、それがいつか計算を終えて止まるか、それとも永遠に動き続けるか。あらゆるプログラムについて「止まる確率」を集めて一つにまとめると、0と1のあいだのある実数になる。これがオメガだ。

ところがこの数の小数展開には、桁を生み出す規則がない。たとえば円周率の3.14159…も延々と不規則に続くが、それでも円周率には、何桁目でも計算できる短い公式が存在する。つまり一見でたらめに見えても、全体は短い式に圧縮できる。オメガにはそれが一切ない。どんな式や手順を使っても、次の桁を前もって割り出すことはできず、一桁ごとにばらばらに決まっているとしか言いようがない。

それどころか、ある桁の値を求めることは、「そのプログラムは止まるか否か」という問い、いわゆる停止問題を解くことに等しく、これは原理的に答えが出せないと証明されている。

つまりオメガは、定義そのものはごく短く書けるのに、中身は一桁たりとも圧縮も予測もできない。「定義できるのに、計算しきれない」という知の最も硬い壁が、たった一つの数に凝縮している。

それは構造上、一切圧縮できない。どのビットも独立に意味をもつため、少しでも削れば、滑らかに荒くなるのではなく、いきなり無意味な砂嵐に転落する。JPEGのような「ほどよく粗くても見られる」猶予地帯が、最初から存在しない。

身近なところにも、これに似た対象はある。たとえばよくできた推理小説は、ばらまかれた手がかりが最後の真相という一点で噛み合うように組まれていて、伏線を一つ抜くだけで結末が成り立たなくなる。あるいは精密な数学の証明も、途中の一行を飛ばせば論理の鎖が切れてしまう。

あるいは優れた短い詩は、語の一つ一つが互いを支え合っていて、要約すれば内容は伝わっても詩そのものは消えてしまう。どれも、写真の空のような「荒くしても気づかれない部分」をもたない。全体が芯でできているため、削ればその芯を失う。

つまり「あえて捨てれば答えは手に入る」という楽観は、対象の構造に依存している。芯と余分が分離している対象では、思い切った圧縮がかえって理解を鮮明にする。だが信号と雑音が同義であるような対象、つまり全体が芯でできていて余分のない対象では、捨てた瞬間に芯そのものを失う。

究極の答えが「混沌」だったら

では、もし究極の答えそのものがカオスやランダムネス、混沌のようなものだったとしたら、どうなるのか。それは答えと呼べる何かなのか、それとも答えの放棄なのか。

まず注意したいのは、「無秩序らしきもの」を指す言葉が、ひとつの塊ではないことだ。日常では混ざりがちだが、これらは互いにまったく違う「掴めなさ」を指している。代表的なものを並べてみる。

• 決定論的カオス：規則は完全に決まっていて、しかも短い。だが初期のわずかな差が時間とともに爆発的に広がるため、先の状態は事実上読めない。規則は圧縮できるのに、結果の道筋が逃げていく。

• ランダムネス：規則の側にすら圧縮の余地がない。先ほどの特別な数オメガがこれにあたり、短い説明そのものが存在しない。

• 複雑性：これは無秩序ではなく、むしろ組織化されすぎて単純な式に畳めない状態だ。無数の要素が絡み合い、全体が部分の足し算に戻せない。中身が空っぽだから書けないのではなく、中身が詰まりすぎて書けない。

• 偶発性：因果はあるが必然ではなく、別様でもありえた、という性質。生物進化の道筋のように、後から見れば筋は通るが、もう一度やり直せば違う結果になる。

• 創発：下の階層の規則からは予測できない性質が、上の階層で立ち現れること。水の分子式から「濡れている」は導けない。これも無秩序ではなく、新しい秩序の出現だ。

• 曖昧さ：境界が引けないこと。砂粒を一つずつ足していって、どこから「山」になるのか線が引けない。世界が予測不能なのではなく、概念の縁がぼやけている。

こうして並べると、これらは少なくとも三つの方向にばらけているのがわかる。

第一に、掴めなさが対象の側にあるのか、こちらの知識の側にあるのか、という違いだ。同じ「予測できない」でも、量子的なゆらぎのように対象そのものがまだ決まっていない場合と、単に測る物差しが足りないだけの場合とでは、限界の持ち主が違う。後者は知識が増えれば縮むが、前者は世界の側の性質だから、いくら調べても消えない。両者を取り違えると、自分の限界を世界の性質に祭り上げたり、逆に世界の性質を努力不足のせいにしたりする。

第二に、秩序が欠けているのか、それとも別種の秩序があるのか、という違いがある。ランダムネスは秩序の不在だが、複雑性や創発は、単純な式に畳めないほど豊かな秩序を指す。表面上はどちらも「短い式で書けない」が、書けない理由は正反対だ。一方は空っぽだから、他方は詰まりすぎているから書けない。

第三に、世界の側ではなく、世界と言葉の接ぎ目にある掴めなさがある。曖昧さがそれで、対象が完全に決まっていても、それを切り取る概念の輪郭が定まらない。ここでの掴めなさは物理ではなく意味の層に属する。

ここで興味深い逆転が起きる。仮に究極の答えがランダムネスだとすると、その答えは圧縮できないはずだ。ところが「究極の答えはランダムネスである」という文そのものは、ごく短い。一切圧縮できない対象についての理解が、たった一行に圧縮されている。

これは矛盾ではなく、理解というものの本性を露わにする。理解とは、対象そのものを縮めることではなかった。対象が縮められるかどうか、その縮まり方の構造を縮めることだったのだ。だから対象がまったく縮まらないランダムなものであっても、「これは縮まらない」という事実は、すっきりと把握できる。理解は対象が逃げ切ったあとに、その逃げ方の輪郭をつかむ。

混沌という言葉を使って「何かを掴んでいる」という感覚は、ここに根拠をもつ。掴んでいるのは混沌の中身ではない。中身が掴めないという、その掴めなさの型である。そして先に並べたとおり、この型は何種類もあり、いい加減に貼れるラベルではない。

複雑なものを「ランダム」と呼べば、隠れている秩序を見落とす。ランダムなものを「カオス」と呼べば、ありもしない規則を探し続けて消耗する。掴めなさにも種類があり、取り違えれば予測を外して現実に罰せられる。だから恣意的ではない。指紋の採れない指について、その抵抗の仕方という別種の指紋を採っている。

そして、これら全部の手前に、もう一段別格のものを置ける。古代中国の『荘子』にある「渾沌（こんとん）」の寓話だ。渾沌という名の存在に、よかれと思った者たちが目鼻の七つの穴を一日に一つずつ開けてやったところ、穴が全部そろった日に渾沌は死んでしまう。

これは無秩序の一種ではない。何かが区別され分節される以前の、地そのものを指している。穴を開ける、つまり区別を入れる行為が始まった時点で、それはもう渾沌ではなくなる。先に挙げたどの掴めなさとも違って、ここでは掴もうとする操作そのものが、対象を別物に変えてしまう。失われるのは精度ではなく、対象の身分そのものなのだ。

究極は、対象ではなく行為のうちにある

こうして全体を見渡すと、究極の答えが存在しない理由は一つではなく、層をなしている。

完全な再現を求める限り、究極の答えは存在しないどころか、到達したかどうかすら判定できない。

誤差を許して「あえて捨てる」道を選べば、答えには手が届くが、そのとき究極はもはや対象のうちの唯一の最短説明ではなく、何を捨てるかという目的しだいの選択になり、唯一性を失う。対象によっては、少しの切り捨てが即座に全体の崩壊を招き、ほどよい答えの居場所すらない。

そして究極が混沌のようなものであった場合でさえ、理解は消えはしない。対象の中身から、対象がどう抵抗するかという型へと、掴む先を静かに切り替えるのだ。その型は一種類ではなく、秩序の欠如か過剰か、限界が世界の側か知識の側か、世界の問題か言葉の問題かによって細かく分かれていて、どれを当てるかで見える景色が変わる。

ただし、その型に勝手な実在の名を与えれば理解は越権に転ぶし、相手が渾沌のように区別以前の地であれば、掴もうとする手つきそのものが、それを別の何かに変えてしまう。

結局のところ、究極の答えは、世界のどこかに隠された一個の宝物としては存在しない。もしそれに近いものがあるとすれば、それは答えという完成品の形ではなく、何を残し何を捨てるべきかを、その都度の目的に応じて見極める判断の働きとして現れる。古い言葉を借りれば、それは知識というより賢慮（フロネシス、状況に応じた実践的な見極めの力）に近い。重心は、対象が何であるかから、こちらがどう向き合うかへと移る。

そして、この移動は静かにもう一つの帰結を連れてくる。何を捨てるかが目的しだいなら、目的の数だけ、世界の正しい切り取り方がありうるということだ。究極の答えが唯一の最短説明ではなく、目的に応じた答えの一族であるなら、知のあり方もまた、ただ一つの正解へ収束していく階段ではなくなる。

同じ世界について、ある問いには粗い見取り図がいちばんよく効き、別の問いには細部を残したモデルが要る。互いに置き換えられない複数の切り取りが、優劣ではなく役割の違いとして横に並ぶ。

一枚の完璧な答えを目指して他をすべて畳んでいくよりも、目的の異なる複数の理解が共存しているほうが、世界はかえってよく見える。これは知の散らかりや妥協ではない。捨てるという行為が目的を必要とする以上、目的が多様であれば理解も多様であるほかない、という認識の必然である。

地図を思えばいい。縮尺が一分の一の、何ひとつ省かない完璧な地図は、もはや地図ではなく世界そのものであって、何の役にも立たない。地図が地図であるのは、必ず何かを捨てているからだ。

だから道に迷わないための地図と、地層を読むための地図と、人の流れを見るための地図は、どれかが正しくて他が間違っているのではなく、捨てたものと残したものが違うだけだ。

究極の答えとは、すべてを描き込んだ最後の一枚ではない。何をどう削れば、いま自分が向き合っている世界がいちばんよく見えるか。その問いを手放さずにいること、そしてその問いの答えが一つに定まらないことを引き受けること、それ自体のうちにしか、究極に近いものは宿らないのかもしれない。