Math Note Ⅰ　第15話

15　 ２次関数の決定――切り替える

「あみ、バイバーイ！」
　自転車に乗って追い越していくミクの声で我に返り、手を振り返した。
　ちゃらんぽらんだと思っていたあの鈴木に「勉強しないのか」と言われ、言葉に詰まってしまった。もう三年か。あっという間だな。私もそろそろ勉強しないと本当にヤバいかも。でも、今まで勉強してなかったから、今さらやったって無理なんじゃないの？ミクも結構前から大学の話をしていたし、前からまじめにやってる子たちに追いつける訳がない。でも、だからって何もしなければ本当に何もなくなってしまう。
　少し強めの風が吹いて、近くのクスノキの葉がザワザワと音を立てる。
　
　あれ、電柱のそばに何か落ちている。近づいて見ると、それは一冊の白いノートだった。これって鈴木が今朝教室で見てたノートじゃないの？
　また風が吹いて、ノートがパラパラとめくれた。開いたページが少し光ったような気がした。立ち止まってノートを拾い上げ、そのページを見た。
 
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〈問〉２次関数のグラフが３点($-1$，$-6$)，($1$，$0$)，($3$，$-2$)を通るとき、その２次関数を求めよ。
 
〈解〉求める２次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおくと
　($-1$，$-6$)を通るから　$-6=a-b+c$ ……①
　($1$，$0$)を通るから　 $0=a+b+c$……②
　($3$，$-2$)を通るから　$-2=9a+3b+c$……③
 
　②－①より　$6=2b$　よって　 $b=3$　……④
　また，③－②より　$-2=8a+2b$　
　④より　$-2=8a+6$　よって　$a=-1$　……⑤
　④，⑤を②に代入して　$0=-1+3+c$　よって　$c=-2$ 　……⑥
 
　ゆえに、求める２次関数は　$y=-x^2+3x-2$

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２次関数を表す式のうち、もっともよく使われるものが２種類ある。
（一般形）$y=ax^2+bx+c$
（基本形）$y=a(x-p)^2+q$
　どちらも、$x$ と $y$ 以外の文字は何らかの数を表しているので、２次関数を決定するということは、$a$，$b$，$c$ もしくは $a$，$p$，$q$ の３種類の数を求めるということだ。
　たとえば、頂点の座標が ($2$，$3$) とわかっている場合は、
　$y=a(x-2)^2+3$
　という式になるということだから、基本形から考えるともう $p$，$q$ の値がわかっているので、あとは $a$ だけを求めればいい。
　しかし、この問題は頂点の座標などは分かっていなくて、グラフが通る３点の座標がわかっているだけだ。この３点の座標を基本形の式に代入すると、
　($-1$，$-6$)を通るから 　$-6=a(-1-p)^2+q$ ……①
　($1$，$0$)を通るから $0=a(1-p)^2+q$　 ……②
　($3$，$-2$)を通るから　$-2=a(3-p)^2+q$ ……③
　というごちゃごちゃした式が3つできてしまう。だから、こんなときは、解答のように「一般形」に代入するほうが、連立方程式が1次式になって、結果的に求めやすくなる。
 
　……だから何。
 
　あ、そうか。鈴木もミクもちゃんと切り替えてたんだ。友達の前の自分と、一人になった時の自分。その時その時で大事なことをちゃんと考えて、楽しく遊ぶ時と、真剣に勉強する時を切り替えていたんだ。このような問題で、いつも基本形に代入するのではなく、時には一般形を使うように。
　私はそれに気づいてなかった。ずっと基本形ばかり使っていたみたいな感じだ。だから今、どうしていいかわからなくなっている。
　じゃあ、どうする。
 
「お、鳥谷、こんなところで勉強してんのか？偉いなー」
　鈴木の声で我に返った。鈴木はそのまま走り去っていった。しばらくボーっとして立ちすくんでいたが、えっ、このノート、鈴木に返すんじゃないの？
　いつも「声だけはでかい」と言われる私だが、今日は二回も声を出しそびれた。ノートを鞄にしまって、歩き出した。これは明日鈴木に渡そう。
 
　過去の自分のままズルズルいくんじゃなくて、気づいた今からでも気持ちを切り替えよう。私も今日からできることをする。