葬列としての因果集合 / Causal Sets as “葬列” — Complete Edition

完全版について / About this edition

本稿は「葬列としての因果集合」の完全版です。v1〜v8.1 で経験的に積み上げてきた投影規則 f を、v9 として五つの最小公理（A1〜A5）から定義し直し、安定領域の代数的記述と一意性の主張をもってシリーズを閉じます。

This is the Complete Edition of “Causal Sets as ‘葬列’.” It redefines the projection rule f—built up empirically across v1–v8.1—from five minimal axioms (A1–A5) as v9, and closes the series with an algebraic description of the stable regime and a claim of uniqueness.

はじめに / Introduction

本稿は、作品「Causal Sets / 葬列」を起点に、時間を「流れ」ではなく因果関係の部分順序として捉え直し、その直観をブラックホールの地平面近傍という比喩を足場に、構造として記述するための公開テキストです。完全版である本稿では、最後に残された問い——投影規則 f から何を外すと葬列でなくなるのか——に、五つの公理という形で答えます。

This public text, anchored in the artwork “Causal Sets / 葬列,” reframes time not as a flow but as a partial order of causal relations, and articulates that intuition as structure through the metaphor of a black-hole horizon. In this complete edition, it answers the last remaining question—what, removed from the projection rule f, makes the procession cease to be a procession?—in the form of five axioms.

作品キャプション / Artwork Caption

Title of Work: Causal Sets / 葬列
Year of Creation: April 2023
Dimensions: 40 × 60 cm (Height × Width)
Medium: Digital media
Technique: Photo collage

本作「葬列」は、東洋の神秘思想と、量子力学と一般相対性理論をつなぐ概念的な架け橋である因果集合理論から着想を得ている。原因と結果の同時性を探求し、過去・現在・未来の出来事が一瞬のうちに展開されるという直観によって、時間の連続性という前提に挑戦する。各存在はセルの中で孤立しているように描かれながらも、避けられない運命の絆によって互いに結ばれ、集合的な存在を形作っていく。星々の海を果てしなく続く比喩的な葬列を通じて、存在の儚さと、この移ろいやすい世界で一瞬一瞬やご縁を大切にすることの重要性を問いかける。

“Causal Sets” draws inspiration from Eastern mysticism and causal set theory—a conceptual bridge between quantum mechanics and general relativity. The work explores the simultaneity of cause and effect, guided by the intuition that events of the past, present, and future can unfold within an instant, thereby challenging the assumption of continuous time. Each being appears isolated within its own cell, yet remains linked through inescapable bonds of fate, forming a collective existence. Through the metaphor of a funeral procession extending endlessly across a sea of stars, the work invites reflection on the fragility of being and on the importance of cherishing each moment and every connection within a transient world.

関連作（補助的参照） / Related Work (Supporting Reference)

「元型」の反復・入れ子の発想は、本研究における rank ネスト（v5）および反復構造の読解に、補助的な参照枠を与える。

The theme of repetition and nested loops in “Archetypus” provides a supporting frame for reading rank-nesting (v5) and stratified repetition in this study.

Title of Work: Archetypus / 元型
Year of Creation: July 2020
Dimensions: 123 × 99 cm
Medium: Digital media
Technique: Photo collage

本作「元型」は「原型への回帰と反復」を主題とし、鳥の仮面を被った女性像の反復によって人間の根源的な欲求を象徴化する。作家にとって論理は感覚を抑える手段に過ぎず、その拘束が合わせ鏡のような終わりのない反復＝入れ子の世界を生む。この無限ループは、人類の歴史・文化・戦争・紛争、さらには宇宙の構築そのものを示唆する。

“Archetypus” explores repetition and a return to the archetypal. Repeated depictions of a woman wearing a bird mask figure humanity’s fundamental desires. Here, logic functions as a restraint on the senses, and that restraint generates an endless recurrence—like reflections between facing mirrors, an infinitely nested world. This loop can be read as a model for human history, culture, war, conflict, and even the construction of the cosmos.

要旨 / Abstract

本稿は、作品「葬列」をブラックホール時空の地平面 B（horizon）近傍に固定された構造として捉え、時間を「流れ」ではなく「因果関係の部分順序」として扱う。v1〜v9 の更新は、(i) Sephirot 制約、(ii) 局所性/拡散の調整（p, q, σ）、(iii) 跨柱干渉（κ）、(iv) 接続多様性（edge entropy）、(v) 投影規則 f の最小定義へと収束する。本稿は、これらを plate／論文／note の三層に一貫させる Protocol Mapping として提示し、再現可能な制作工程として固定する。完全版では、v9 において f を五つの最小公理から再構成し、一意性をもって閉じる。

This paper reframes the artwork “Funeral Procession” as a structure fixed near a horizon B, and treats time as a partial order of causal relations rather than a flow. The v1–v9 trajectory converges into: Sephirot constraints, locality/diffusion control (p, q, σ), cross-pillar interference (κ), connection diversity (edge entropy), and a minimal specification of the projection rule f. We present these as a Protocol Mapping consistent across the plate, the paper PDF, and the note draft. In this complete edition, v9 reconstructs f from five minimal axioms and closes with a claim of uniqueness.

1. 投影規則 f（入出力仕様） / Projection Rule f (I/O Specification)

f は Model／Controller の状態を View 出力へ写像する最小規則である。「最小」とは表現を縛ることではなく、差分が追跡可能な範囲で自由度を確保するという意味である。同じ入力なら同じ出力が得られ、出力の違いがどの要因に帰属するかが追える。

f is the minimal rule mapping the Model/Controller state into View outputs. “Minimal” does not mean restricting expression; it means traceable freedom: the same input yields the same output, and output differences remain attributable to specific factors.

内部状態（最小定義） / Internal State (Minimal Definition)

Input model : C = (V, ≺), rank, chains
Boundary    : B
Controller  : p, q, σ, κ, entropy
Seed        : seed + protocol

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.gridspec import GridSpec

def knn_edges(pts, k=4):
    n = pts.shape[0]
    d2 = ((pts[:, None, :] - pts[None, :, :]) ** 2).sum(axis=2)
    np.fill_diagonal(d2, np.inf)
    idx = np.argpartition(d2, kth=k-1, axis=1)[:, :k]
    edges = set()
    for i in range(n):
        for j in idx[i]:
            j = int(j)
            a, b = (i, j) if i < j else (j, i)
            edges.add((a, b))
    return list(edges)

def pair_correlation(distances, r_max, bins=40):
    hist, ed = np.histogram(distances, bins=bins, range=(0, r_max))
    r = 0.5 * (ed[:-1] + ed[1:])
    c = hist / hist.max() if hist.max() > 0 else hist.astype(float)
    return r, c

def radial_power(points, grid=192):
    H, _, _ = np.histogram2d(points[:, 0], points[:, 1],
                             bins=grid, range=[[-1, 1], [-1, 1]])
    F = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(H))
    P = np.abs(F) ** 2
    y, x = np.indices(P.shape)
    cy, cx = (np.array(P.shape) - 1) / 2
    rr = np.sqrt((x - cx) ** 2 + (y - cy) ** 2).astype(int)
    radial = np.bincount(rr.ravel(), P.ravel()) / np.maximum(np.bincount(rr.ravel()), 1)
    return np.arange(len(radial)), radial

出力体系 / Output Scheme

plate ／ paper PDF ／ note draft ／ SNS text。plate を一次成果として固定し、他の出力は同一の Model／Controller 状態（同一 seed とパラメータ集合）から派生させる。plate では、horizon_y を境に上側（within-horizon）を構造的配置、下側（beyond-horizon）をランダム配置として生成し、点群と局所接続（kNN edges）を描画する。さらに、2 点相関を within／beyond／cross-horizon に分割して比較し、上側／下側の radial power（proxy）を併置する。

plate / paper PDF / note draft / SNS text. The plate is fixed as the primary artifact; other outputs are derived from the same Model/Controller state (same seed and parameter set). In the plate, horizon_y divides the field: the upper region (within-horizon) as structured placement, the lower (beyond-horizon) as random placement. We draw the point cloud and kNN edges, split the two-point correlation into within / beyond / cross-horizon pairs, and place a side-by-side radial-power proxy.

2. 不変量・反例・安定条件（中域） / Invariants, Counterexamples, and Stability

不変量とは「壊すと作品として成立しない骨格」である。少なくとも、因果整合、地平の二相性、層構造（rank・chains）、多様性（entropy の非崩壊）を不変量として固定する。反例を明示することで禁止領域が定まり、安定条件（中域）の意味が具体化する。

Invariants are skeletal constraints that must survive parameter tuning: causal consistency, horizon-driven two-phase behavior, stratification (rank and chains), and the non-collapse of diversity (entropy). Counterexamples define forbidden regions; together they make the stability window concrete.

3. Protocol Mapping（制作→提出→公開） / Production → Submission → Publication

View は plate ／論文 PDF ／note 原稿 ／SNS text の 4 出力を基準とする。plate は制作の一次成果、論文は仕様の固定、note は公開のための語り、SNS text は告知・共有のための要約である。同一の内部状態から 4 出力を派生させることで、制作工程は追跡可能になり、作品と言語（仕様）が乖離しない。

The View layer standardizes four outputs: plate / paper PDF / note draft / SNS text. The plate is the primary artifact; the paper fixes the specification; the note provides a public-facing narrative; the SNS text is a summary for announcement. Deriving all four from the same internal state keeps the process traceable and prevents divergence between the artwork and its language.

4. v9 ── 投影規則 f の最小公理系 / A Minimal Axiom System for f

v1〜v8.1 で経験的に固定されてきた投影規則 f を、ここでは最小の公理系から演繹的に再構成する。提案する公理は五つ（A1〜A5）。これらが同時に成立するとき、かつそのときに限り、f は「葬列」という構造——孤立したセルが因果の糸で結ばれ、列を成す——を生成できる。ここでの「最小」は、外すと葬列が成立しないという意味であり、証明ではなく反例による境界の確定で示す。

The projection rule f, fixed empirically across v1–v8.1, is reconstructed here deductively from a minimal axiom system. We propose five axioms (A1–A5). They hold simultaneously if and only if f can generate the structure we call a “funeral procession.” “Minimal” means remove it and the procession no longer holds; we show this not by proof but by fixing boundaries through counterexamples.

H = f(S; B, θ)
S = (V, ≺)                  causal set: vertices V with causal order ≺
B                           causal horizon (boundary)
θ = { p, q, σ, κ, H_edge }  Controller parameters
H                           View = Hologram (output)

五つの最小公理 / The five axioms

• A1 ── 順序保存 / Order Preservation：a ≺ b ⇒ f(a) precedes f(b)。到達可能性の深さの序列を壊さない。/ preserve the ordering of reachability-depth.

• A2 ── 地平面の二相性 / Boundary Duality：地平の上（within）と下（beyond）は構造的に別物。/ within- and beyond-horizon remain structurally distinct.

• A3 ── 局所連続性 / Local Continuity：微小な δθ に対し δH は有界連続。同じ θ から同じ H。/ small δθ → bounded, continuous δH; same θ → same H.

• A4 ── エントロピー非崩壊 / Entropy Non-collapse：H_edge ≥ H_min > 0。多様性＝運命の絆を絶やさない。/ keep the bonds of fate from vanishing.

• A5 ── ホログラフィック境界制約 / Holographic Bound：|cross-horizon edges| ≤ Area(B) / ℓ_P²。Bekenstein–Hawking 境界の離散アナログ。/ a discrete analogue of the Bekenstein–Hawking bound.

公理と崩壊反例の対応 / Axioms ↔ counterexamples

• CE1（p→1, q→0）── 違反公理：A2・A4 ── 地平面消失＋entropy 崩壊（飽和）/ horizon loss + entropy collapse

• CE2（σ 大 / large σ）── 違反公理：A1 ── 因果順序の判読不能 / causal order illegible

• CE3（κ 大 / large κ）── 違反公理：A5 ── 到達可能性の断裂 / reachability fractured

A3 は CE1〜CE3 のすべての境界で破れる（安定領域の外縁は相転移点）。/ A3 breaks at every boundary of CE1–CE3.

A3 は CE1〜CE3 のすべての境界で破れる。安定領域の外縁は相転移点である。/ A3 breaks at every boundary of CE1–CE3: the outer edge of the stable regime is a phase-transition point.

安定領域 Ω_stable / The stable regime

Ω_stable = { θ = (p, q, σ, κ) :
   A1:  σ < σ_max(q)          σ cap depends on q
   A2:  p < p_max, q > q_min  p not too large, q not too small
   A3:  θ ∈ int(Ω_stable)     interior only (boundary is non-continuous)
   A4:  H_edge(θ) ≥ H_min     entropy floor
   A5:  κ < κ_max(p, q)       κ cap depends on p, q  }

v8.1 で観測した「p/q 中域・σ 小・κ 中程度」は、この代数的記述の経験的な姿だった。/ “Mid-range p/q, small σ, moderate κ,” observed at v8.1, was its empirical face.

公理の検証関数 / Axiom-verification function

import math
from dataclasses import dataclass

@dataclass
class Controller:
    p: float      # transmissivity / mixing
    q: float      # selection / closure
    sigma: float  # jitter
    kappa: float  # segmentation / cross-pillar

def check_axioms(theta: Controller) -> dict:
    p, q, sigma, kappa = theta.p, theta.q, theta.sigma, theta.kappa
    a1 = sigma < 0.15 * (q + 0.1)                       # A1 order preservation
    a2 = (p < 0.85) and (q > 0.15)                      # A2 boundary duality
    dist = min(abs(p-0.2), abs(p-0.8), abs(q-0.2), abs(q-0.7))
    a3 = dist > 0.05                                    # A3 local continuity
    h = -p*math.log(p+1e-9) - (1-p)*math.log(1-p+1e-9)
    a4 = (h * q) > 0.1                                  # A4 entropy non-collapse
    a5 = kappa < 0.5 * (1 - p) * q                      # A5 holographic bound
    return {"A1": a1, "A2": a2, "A3": a3, "A4": a4, "A5": a5}

def is_stable(theta: Controller) -> bool:
    return all(check_axioms(theta).values())

f の一意性 ── 詩と数学が同じことを言う / Uniqueness

定理（非形式的）： 安定領域 Ω_stable の内側では、A1〜A5 を満たす写像 f は同型を除いて一意である。

Theorem (informal): Inside Ω_stable, a mapping f satisfying A1–A5 is unique up to isomorphism.

• 物理 / Physics　境界データから bulk の構造が一意に復元される（ホログラフィック原理）。

• 仏教 / Buddhism　阿頼耶識（蔵識）から現象世界が一意に展開される。

• アート / Art　seed と θ が固定されれば plate は一意に決まる——「再現可能な制作工程」の意味。

v1 で書いた「原因と結果の同時性」「存在の儚さ」「一瞬一瞬のご縁」は、いまこう言い換えられる——葬列とは、五つの公理を満たす唯一の構造として時空に刻まれた因果の連なりである。 詩と数学が、同じことを言っていた。

What I wrote at v1—the simultaneity of cause and effect, the fragility of being, the preciousness of each moment and bond—can now be restated: a procession is a chain of causation inscribed in spacetime as the unique structure satisfying five axioms. Poetry and mathematics were saying the same thing.

5. plate ギャラリー（v1〜v8.1 ＋ closure） / Plate Gallery

各 plate には、(i) パラメータ（p, q, σ, κ）、(ii) 観測変化、(iii) 意図 を付与する。/ Each plate caption follows: (i) parameters, (ii) observed change, (iii) intent.

おわりに / Closing

v9 で、「葬列」のシリーズはひとまず閉じる。けれども一意性の主張は、証明の完成というより次の問いの入り口だ——κ_max のホログラフィックな導出、境界での f の挙動、Sephirot 制約の公理化、そして文化進化論との接続（A4 ＝ 多様性の保全）。これらは、いつか続きを書く日のために開いたままにしておく。

With v9, the “葬列” series closes—for now. Yet the claim of uniqueness is less the end of a proof than the doorway to the next questions: a holographic derivation of κ_max, the behavior of f at the boundary, an axiomatization of the Sephirot constraints, and a bridge to cultural-evolution theory (A4 = the preservation of diversity). I leave them open, for the day a continuation is written.

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日本語版 / Japanese

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関連リンク / Related Links

作家プロフィール / Artist Profile