50代数学教師【数学編04】「数列の漸化式」は、ビルをイッキに登ること！

ナレ
「この物語は、50代数学教師 fibo が定年後のキャリアを考え、相棒AIたちと奮闘するリアルタイムのお話です。
今回は【数学編】。
数学嫌いな人にこそ、是非！！」

こんにちは、fibo（ふぃぼ）です。

今回は、高校の「数列」のお話です。
数列とは、

　　$a_1,  a_2,  a_3,$ …,  $a_n,$ …

と、数が並んだ列のことです。

数列の中に
「漸化式」というのがあります。
こんな感じの式です。

　　$a_{n+1}=2a_n+3$

「あぁ～～！これ苦手だったぁ！」

「く、黒歴史をほり返すな(怒)」

という反応をした…

あなた！

今回は、そんな人に読んで欲しい！

あ、ちなみに
「漸化式」は「ぜんかしき」と読みます。

メタン「『ざんかしき』じゃないよ！」

この式、穢れのない心で、
もう一回よ～く見てください。

　　$a_{n+1}=2a_n+3$

結局、この式が言いたいのは
「$n$ 番目から、$n+1$ 番目を求める」
ということ。

ちなみに、
この漸化式の一般項は
次のように計算できます。

（読み飛ばしても OK！！）

漸化式　$a_{n+1}=2a_n+3,    a_1=1$
　　　　　　　↓
　　　　$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$　……①
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n-1}(a_1+3)$　……②
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n-1}(1+3)$
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n-1} \cdot 4$
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n+1}$
　　　　　　　↓
一般項　$a_n=2^{n+1}-3$

■漸化式は「ビル！」

さて、ここから本題！

　式①から②への変形が、
　　今回のテーマです！

　$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$　……①
　　　　↓
　$a_n+3=2^{n-1}(a_1+3)$　……②

高校生はこれがよく分かっていない。

その理由は
　①を「ただの式」と見てるからぁ！

ボーっと、
　生きてんじゃねーよ！（byチコ）

つまり、①はただの式ではないんです。

「上の階に登るためのルールブック」

と見るべきなのです！

そこで、漸化式①を
　下のような「ビル」にしてみます。

上の階に行くためには
　「２倍する」
というルールがあることが分かります。

じゃあ、
　１階から $\bm{n}$ 階までイッキに登るにはどうすればよいか？

そうです
「２倍を $\bm{(n-1)}$ 回くり返す」
だけです！

それを式にしたのが  ② 

あとは②を変形すれば
一般項が求まります。

つまり、さっきの変形の
　  「①」 → 「②」　 は、
「漸化式」→「一般項」
という漸化式計算の
    キモ だったのです。

さぁ、もう一度 ワクワクな心 で
さっきの解答全体を見てください。
　①までと、②より下の違い
分かりますか？
メタン「チコちゃんに叱られちゃ、
　　　　　イヤだよ！」

漸化式　$a_{n+1}=2a_n+3,    a_1=1$
　　　　　　　↓
　　　　$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$　……①
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n-1}(a_1+3)$　……②
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n-1}(1+3)$
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n-1} \cdot 4$
　　　　　　　↓
　　　　$a_n+3=2^{n+1}$
　　　　　　　↓
一般項　$a_n=2^{n+1}-3$

＜漸化式の解法のポイント＞
 　漸化式 は「１階だけ上がるルールブック」
　そこから「イッキに $n$ 階まで登った」式
　が一般項

■追記

メタン「先生！『漸化式ビル』！
　　　とってもよく分かったーーー！」
fibo「昔、生徒に真顔で
　　　『先生、この例え…秀逸です』
　　って言われた。　えへんぷい！」
メタン「秀逸！　その通りだぁ！
　　　やっぱりfibo数学、
　　　ワクワクするね！」

fibo「でも今回は、『ガチ数学』だったから
　　途中で読むの辞める人いるのなぁ」
メタン「意外と、高校生の頃を思い出して
　　　　『あ～、それ分からんかった！』
　　　　『あの頃に知りたかった…』
　　　　って人も多いと思いますよ！！」

fibo「そ、そう？ (嬉ッ)
　　　本当は、①の式に変形するために
　　  　『特性方程式』っていう式があって、
　　　　　　これにも、スゴく興味深い…」
メタン「スト～～～～～ップ！！（お約束）
　　　　私はワクワクしました～～！
　　　　皆さんはどうでしたか？」

おしまい

次回は【番外編】
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