50代数学教師【数学編08】「２次不定方程式」は『判別式もどき』で一発で見分けられる！

ナレ
「この物語は、50代数学教師 fibo が定年後のキャリアを考え、相棒AIたちと奮闘するリアルタイムのお話です。
今回は【数学編】。数学嫌いな人にこそ、是非！！」

こんにちは、fibo（ふぃぼ）です。

以前の【数学編】では、
　確率の掛け算と「時間の流れ」
を３回連続で話しました。

（↓リンクはこちら）
【数学編05】残り物に福は…？
【数学編06】条件つき確率は３パターン
【数学編07】反復試行の確率もスッキリ

今回は、
　２次不定方程式
についてです。

メタン「これ、
　　　　大学入試でよく出るやつ！」

そう、不定方程式！
その２次式バージョンが今回のお題。

■まずは例題から

例題）次の不定方程式を満たす
　　　負でない整数の組$(x, y)$を求めよ。
　　(1)　$x^2-y^2=4$
　　(2)　$x^2+y^2=4$

メタン「パッと見て、
　　　　＋ と － の違いだけ？」

そうだね。だけど、
　解き方が　全然違う！

解答の冒頭だけ見てみると…

解答）(1)　$x^2-y^2=4$
　　　　　　⇒ $(x+y)(x-y)=4$ …
　    　(2)　$x^2+y^2=4$
　　　　　　⇒ $x= \dfrac{0 \pm \sqrt{0-4(y^2-4)}}{2}$ …

メタン「あれ？
　　　　(1) は単純に  (因数分解)=(数)
　  　　　　と変形してるけど
　　　　(2) は… 解の公式？」

その通り。
なぜこんな違いが発生するのか？

メタン「問題集の解答には
　　　　　理由 は書いてない！」

いやぁ～
書いてある本もあるけどね。
でも、
　因数分解できるかどうか
くらいしか書いてないものも多い。

メタン「え～～。いつも
　　　　因数分解できるかどうか
　　　　を見分けなきゃ
　　　　いけないんですかぁ～！」

ふふふ…

メタン「何か、
　　　　裏技があるんですね！？
　　　　ワクワクしてきたー！」

■２次曲線って知ってる？

その話をする前に、
前提の知識の整理をしよう。

２次の不定方程式の一般形は
　$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
という式になる。

これは、必ず
　楕円・放物線・双曲線
のどれかになるから、
この３つを合わせて…

メタン「２次曲線！
　　　　でも、これって
　　　　今は理系の生徒しか
　　　　習わないんでしょ？」

今はね。でもここで使いたいのは
もっと簡単なこと。
まずは３つの図を見てね。

メタン「先生！　これって
　　　　円錐(すい)曲線 とも言いますよね？」

上下につなげた クラッカー（円錐）を
　刀でスパッ！！
と切ったときの「切り口」が
この３つだからだね。

メタン「すぱぁー！　
　　　　ところで、双曲線の
　　　『黒の点線』って漸近線ですよね」

そう！　この
　漸近線（ぜんきんせん）
が今回のキモ！

詳細は省くけど、簡単にいうと、

　因数分解できる ⇔ 漸近線がある

メタン「ということは…
　　　　因数分解できないと
　　　　漸近線はない？」

そうだね！　だから
楕円 に 漸近線がない理由は…

メタン「因数分解できないからかぁ！
　　　　あれっ！？
　　　　この話、さっきしましたよね？
　　　　　因数分解できるかどうか」

そう。つまり、
　因数分解できるかどうか知りたい
なら、
　それがどの曲線か分かればいい！

メタン「そっかーー！
　　　双曲線なら因数分解できる！
　　　楕円なら因数分解できない！
　　　　かんたーーーん！
　　　ん？　
　　　ちょっと待って！
　　　そもそも、どうやって
　　　双曲線か楕円か見分けるの？」　

■判別式もどき Ｄ！

２次関数のときに
　判別式$D$
ってやったよね？

メタン「$D=b^2-4ac$で
　　　　$D>0$ なら 異なる実数解
　　　　$D=0$ なら      重解
　　　　$D<0$ なら　虚数解
　　　　ってやつでしょ？」

そう。
それを２次の不定方程式
　$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
にも適用してみよう。

ここで注意してほしいのは
　$a$ は $x^2$ の係数
　$b$ は $xy$ の係数
　$c$ は $y^2$ の係数
ってことね。

これで、判別式…
　そのものではないので

判別式もどき（fibo命名）
　$D=b^2-4ac$　を使うと…

メタン「使うと！！！？」

　$D>0$ なら 双曲線
　$D=0$ なら 放物線
　$D<0$ なら 楕　円
　（証明は省略！）

メタン「…え…ということは $D$ を調べれば、
　　　　因数分解できるかどうかが分かる！」

ご名答！

メタン「ちょ、ちょっと例題で確認するね」

　(1)　$x^2-y^2=4$ は
            $a=1,  b=0,  c=-1$ だから
　 　　$D=0-4 \cdot 1 \cdot (-1)=4>0$　
　　　　双曲線だから、因数分解できる。
    (2)　$x^2+y^2=4$ は
            $a=1,  b=0,  c=1$ だから
　 　　$D=0-4 \cdot 1 \cdot 1=-4<0$　
　　　　楕円だから、因数分解できない。

メタン「きゃぁーー。
　　　　あってるぅー！」

だから、２次不定方程式が出たら
最初に 判別式もどき を
　　ちょちょっと計算
すれば、方針がすぐ分かるのです！

メタン「これ、チョー便利！！」

あ、ちなみに例題の答えは
　(1)　$(x, y)=(2, 0)$
　(2)　$(x, y)=(2, 0),  (0, 2)$　ね！
この答えにたどり着くには、
もう少し説明が必要ですが…

今回はここまで！

■追記

メタン「もぉっと、
　　　　いろいろ知りたいーー！」
fibo「なぜか、『スキ率』だけ見ると
　　　　全　体…36.0％
　　　　数学編…40.4％（10/21現在）
　　なんだよねぇ。ニッチなのに…」
メタン「みんなも知りたいだね！」

おしまい

次回は【暗記編】
（↓リンクはこちら）