数学で受験生にエール贈ります💕数え上げることを軽視しないで！🌸

受験生の皆さま、共通テスト初日お疲れさまでした。
解答速報や他の受験生の感想など気になるところでしょうが、
今は明日の理系科目のことだけ考えましょう！

物騒な事件もありましたので、
お気をつけてご帰宅ください。
そして、刺された方の１日も早いご快癒と受験上の救済措置、その場に居合わせた方やニュースを聞いて動揺された方たちができるだけ平静な気持ちで明日以降も受験できることを心よりご祈念申し上げます。

では、今日は駿台の広告に掲載されていた問題を取り上げて解説し、以って皆さまへ贈るエールと致します🙇‍♀️

🐣＜問題＞🐣

「GAKKOU」の６文字を並び替えるとできる３６０個の文字列を辞書式（アルファベット順）に配列することを考える。
このとき、ちょうど１００番めにくる文字列を求めよ。

さあいかがでしょうか？
最初、電車の中でこれを見たときは「最後のエールでまで問題を出すなんてすごい先生だな」と思いましたが、文字列を見てパッと閃くものがありました。
ここでは、勘ではなく理論的に正解を導き出してみてください。

☆同じものを含む順列の総数

６文字がすべて異なっていれば、できる文字列の総数は６！＝７２０個となりますが、
本問では「K」が２つありますので、２！で割って３６０個となります。

この点は問題にも書いてありますし、教科書レベルの公式ですので大丈夫ですね？

※画像は「数スタ」のサイトより引用。
この公式がなぜ成り立つのかをちゃんと理解しておくことも重要なのですが、長くなるので確認したい方は上記の引用元サイトをご覧ください。
⚠️階乗…６！＝６×５×４×３×２×１のことです。

☆AとGで始まる文字列が各６０個ある！

大前提として辞書式（アルファベット順）を確認しておきます笑💦
もちろん

🍎A→G→K→O→U　※Kは２つ

です。焦るとこういうところでもミスしてしまうので落ち着いて…。
Aで始まる文字列はいくつあるかというと、残りの５文字の順列となりますので５！…ですがやはりKが２つあるので２！で割って、６０個となります。

同様に、Gで始まる文字列もやはり６０個あります。
本問で求めたい文字列は１００番めのものですから、
求めたい文字列はGで始まるものということになります。
（Gまでで１２０個あるので）

☆さらに細かく数えていこう！

GA…で始まる文字列は４！を２！で割って、１２個あります。
これが６１番め～７２番めということですね。

では、GK…で始まる文字列はどうでしょうか。
今度は、残り４文字はA・K・O・Uとなり同じ文字がありません。
よって２！で割ることはせず、４！＝２４個あることになります。
GK…で始まる文字列が７３番め～９６番めまでを占めます。
もう少しです。

GO…で始まる文字列も１２個ですから、
９７番め～１０８番めまでです。
求めたい１００番めはここにありますので、
ここからは一つずつ挙げていきましょう。

🍏９７番め…GOAKKU
🍏９８番め…GOAKUK
🍏９９番め…GOAUKK

そしていよいよ正解は…
🍎１００番め…GOKAKU

そうです、「合格」となるわけです！
こんなオシャレな問題を最後に贈るエールで出題できるなんて、なかなかこの先生もやりますね✨

☆数え上げるのが苦手な受験生が増えている？

「場合の数・確率」の分野に限らないのですが、近時、多くの数学者の方や予備校講師が指摘しているのが、

✅公式に頼ることができず、単に順番に数え上げていけばよいタイプの問題を苦手とする受験生が多い

ということです。私の指導経験からも確かにそうですね。
指導者の側からすれば、単に「順番に数えればできるよ」と言って済ませたくなるのをこらえてちゃんと丁寧に指導する必要があるということになります。

…が、正直こういうのは「習うより慣れろ」の世界になってくるので、
共通テストの前日を迎える前に日頃から訓練しておいてね、
という話ではあります。
（…だったら今言うな、というツッコミは禁止です😝💦）

本問でも、「同じものを含む順列の総数」の公式は当然使うのですが、
そこから先は言われたとおりに辞書式に数える作業が必要になってきます。
そういう意味でもとても良い問題でした。

最後までお読みいただきありがとうございました🙇‍♀️
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受験生の皆さん、試験終了の最後の１秒まで前を向いて頑張ってください！
またねー！💕

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