神曲も数学も味わってね💕受験生でなくても楽しめる共通テスト数ⅡB第4問

♪神曲『共通テスト数ⅡB第4問』現る！

突然ですが皆さんは、『共通テスト数ⅡB第4問』という神曲をご存じでしょうか？

今年の共通テストは全体的にめっちゃ難しかったと言われています。
大学入試センターが今月21日に公表した、2022年度共通テストの平均点等一覧（中間集計その2）によれば、「数学I・A」「数学I」「日本史B」「生物基礎」「化学」「生物」「フランス語」の7科目において、前身の大学入試センター試験時代を含め平均点が過去最低点となっています💦
河合塾の予想平均点も、文系で46点、理系で59点ほど前年よりも平均点が下がるという予想になっています。
※（いずれも５教科７科目、900点満点での話。詳細は上記リンク参照）

『共通テスト数ⅡB第4問』は「数列」に関する問題です。
「数学なのに文が長い！」「状況が複雑！」などの怨嗟の声がTwitter上で多くあがるなど、受験生からは不人気だった問題の一つです。

…しかし！

そんな受験生から嫌われた問題にめっちゃエモい曲をつけた方がいてバズっています。中毒性があるとても良い曲で、ついつい繰り返し聴いてしまいます。良かったら受験勉強の息抜きにぜひ聴いてみてください！😊💕
２分もない短い曲です。

それではお聴きください。
作詞: 大学入試センター
作曲・ボーカル: camel-leonさん
で、『共通テスト数ⅡB第4問』です、どうぞ！

…ね？中毒性あるでしょ😝💦
曲に関する詳しい解説は、camel-leonさんご本人様が動画やツイートでされていますので、ご興味のある方はぜひご覧ください。
（解説動画は限定公開となっているようですのでリンクは貼りませんが、ツイートから辿れます）

私はStudy系のnoterとしてこの数列の問題を正面から解説することで、「そんなに嫌がる問題でもない、むしろ良問じゃない？」という問題提起をしてみたいと思います。
大人の方から高２以下の方まで、多くの方にぜひ読んでほしいです🙇‍♀️

☆問題１ページめ

では、改めて問題を見てみましょう。
数列の問題は全部で４ページです。まずは１ページめ。
camel-leonさんが歌ってくれた部分も含まれます。

数列の分野で日常生活を題材とした出題がされたこと自体に戸惑ってしまったかもしれません。
しかし実は、昨年の共通テスト第２日程における数列の出題も「畳の敷き方」に関する問題でした。
今年の受験生さんは仕方ないとして、高２以下の方は、共通テストではいかなる教科のいかなる単元で文章長めの日常問題が出てもビビらないように、心の準備をしておいたほうが良さそうです。

☆第２項までを求める

問題の２ページめにいきましょう。

時刻０に出発し、毎分１の速さで先行する歩行者を、時刻２で出発する自転車が毎分２の速さで追いかける。
…これはもう、中１の方程式ですよね。もちろんア＝４です。
⚠️時刻４で追いつき、追いつく時点の座標が４。これを（４，４）と表します。

イとウは大丈夫でしょうか？
歩行者に追いついた自転車は１秒だけ停止した後、自宅に戻ります。
速さは毎分２で、距離は４ですから、家に着くまでに２分かかります。
家で１分停止した後で再出発するので、
自宅を２回めに出発する時刻（$a_{2}$）＝８ですよね。
そのときの歩行者の位置は？
歩行者が移動するのは、時刻５～８までの３分間ですから、座標４から３だけ移動します。
ですから、$b_{2}$＝７ですね。

ここまで、数列の知識はまったく使っていませんね。
中２で習う「一次関数の応用」みたいな内容になっています。

このあと、いよいよ各数列の一般項を求めることになりますが、その前に花子さんと太郎くんが重大なヒントをくれているので見落とさないようにしてください。再掲しておきます。

第２項くらいまでなら算数っぽく適当に計算できますが、一般項ともなるとそうはいかなくなります。
どちらでもよいのですが、花子さんの考え方のほうが少ない計算量で済むので以下は花子さんの解き方で説明します。

☆問題３ページめ

問題の３ページめです。

ここも、本質的には一次関数の応用です。
こちらをご覧ください。

見にくくて縮尺もいい加減でゴメンナサイ…🙇‍♀️
エとオは要するに、上図の点Pの座標を求めろということです。
花子さんの考え方から、例えば自転車と歩行者が距離10だけ離れていれば、追いつくまでに10分かかることがわかります。

$a_{n}$と$b_{n}$を用いて同じように考えます。
自転車がｎ回めに自宅を出るとき（$a_{n}$，０）、自転車と歩行者との距離は$b_{n}$ですから、追いつくまでに$b_{n}$分だけかかります。
その間に、歩行者は$b_{n}$の地点からさらに$b_{n}$だけ歩きます。

よって、エは$a_{n}$＋$b_{n}$　（選択肢の３）

オは２$b_{n}$　（選択肢の４）

です。大丈夫ですね？

☆漸化式

いよいよ最後の４ページです。

まずは漸化式ですね。
でもここも、一次関数の応用で解けます。
再び、私が描き込んだ図をご覧ください。再掲します。

要するに今度は点Qの座標を求めればよいというわけです。
自転車の行きと帰りでかかる時間は同じ（＝$b_{n}$）であること、停止時間１分が２回あることに注目すれば、

$a_{n+1}$＝$a_{n}$＋２$b_{n}$＋２

ですね。（横軸を足し合わせてください）
また、歩行者は毎分１の速さ（傾き１）なので、

$b_{n+1}$＝３$b_{n}$＋１

となることもわかります。（今度は縦軸の足し合わせです）
これで、カ～クまで終わりました。

☆漸化式から一般項を求める

ここでようやく、数学Bの知識の出番です。
漸化式を解く（一般項を求める）問題です。
$b_{n}$のほうは特性方程式を解くタイプで、$a_{n}$のほうは階差数列（シグマ計算）を利用するタイプですが、いずれも教科書レベルです。
解説は割愛して結果のみ示します。
ケは７番、コは９番の選択肢が正解。

解き方が知りたい方は例えばこちらをどうぞ。

※世間では青チャートが人気みたいですが私の一推しはこちら。
過不足のない充実した記述で本質を理解できます。
ピンク（入門）を卒業できたら志望校にあわせて緑（基礎）、青（標準）とステップアップしてください。

☆最後の問題

いよいよ最後の問題です。再掲します。

いかがでしょうか。
パッと見は難しそうですが、漸化式から、次の項は前項の約３倍にもなることが既にわかっています。
そんなに多くなさそうなので、地道に求めていきましょう。

バーン！

ちょっとやってみれば、先に$b_{n}$を求めて、それにいくつか足せば$a_{n}$が求まることに気づきます。
（※一般項の式を引き算すれば理由もわかります）

一応ｎ＝５のときも求めておきましたが、ｙ＝300を上回るのは明らかです。
よって、サは４（回）で、そのときの時刻シスセは１３７となります！

え？こんな原始的なやり方は嫌だって？
いえいえ、こちらが本質なのです。
漸化式は元々、解いて一般項を求めるためにあるのではなく、初項から順番にたどればすべての項が求まるところに意義があるのですよ。
漸化式はすべて解ける（一般項が求まる）とは限らないのです。
もちろん、入試には解けるものしか出ないでしょうが…。

☆おわりに

いかがだったでしょうか。
私は、なかなかユニークでおもしろい良問だったのではないかと思います。

とある先生が、「花子さんや太郎くん」が解き方を教えてしまうのは「思考力」を試すはずの共通テストとしていかがなものか、という問題提起をしています。
（今回ご紹介した数列の問題だけでなく、ほぼすべての問題に「花子さんや太郎くん」が登場してヒントを出しています）

仰ることはわかるのですが、「花子さんや太郎くん」のヒントがなければそれこそ平均点の下がり幅はこんなものでは済まなかったと思いますので、止むを得ないのではないかと私は思います。

ぜひ、本問を嫌いにならずに、 camel-leonさんの曲とともに問題そのものも味わっていただければと思います。
高２以下の方は、来年以降の受験対策を考えるヒントにしてください。

最後までお読みいただきありがとうございました🙇‍♀️
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受験生の皆さん、今年もCOVID-19やら何やらで、試験そのものだけでなくいろんな障壁をくぐり抜けての受験で本当に大変だと思います。
せっかく勉強したことをちゃんと発揮できるよう、試験終了の最後の１秒まで前を向いて頑張ってください！
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