わり算の授業、実は「わけ算」から始めてもいい話

３年生をもつとき、いつも私を悩ませる単元があります。
それがわり算です。

みなさんは、等分除から入りますか？それとも包含除ですか？
算数の授業づくりをしていると、 一度は必ずぶつかる問いです。

教科書によって順番が違ったり、
先輩の先生から「こっちから入るべきだ」と言われたり。

今日は、そんな「わり算論争」に対する
私なりの考えをお伝えします。

そもそも、等分除と包含除って何が違う？

まず整理しておきましょう。

等分除（とうぶんじょ）
「12個のあめを３人で同じ数ずつ分けると、1人何個？」
→ 全体を等しく分ける場面のわり算

包含除（ほうがんじょ）
「12個のあめを３個ずつ分けると、何人に配れる？」
→ 全体の中にいくつ分含まれるかを求めるわり算

どちらも式は「12÷3＝4」です。
でも、場面のイメージはまったく違います。

「どちらから入るか」論争の中身

それぞれ様々な言い分があります。
ここでは代表的なものだけを取り上げさせていただきます。

等分除派の言い分
・子どもにとって『同じ数ずつ等分する』場面の方がわり算としてイメージしやすい。だから等分除から入るべき。

包含除派の言い分
・具体的操作をする場合、包含除の方が易しい。１２このアメを３個ずつ取取るほうが、１２個のアメを３つに分けるより簡単である。
・九九との結びつきで考える際も、包含除の方が易しい。包含除は、３×□=１２を考える。等分除は、□×３=１２を考える。３の段を唱えることを考えた時、包含除の方が簡単である。
・ひき算の求差を求残で説明（統合）したように、等分除を包含除の意味で解釈する方が易しい。だから、包含除を先にわり算の定義として教え、その後に等分除を導入した方がよい。

どちらの意見も、一理あります。
多くの教科書では等分除から導入することが多いようですが、
教科書によって順番が違うのは、 この論争に
「絶対の正解」がないからです。

私が大切にしたい視点

結論から言います。
どちらから入っても、間違いではありません。

大切なのは、順番ではなく、
子どもの自然な思考を否定しないこと。

これが、わり算の授業で一番大切なことだと思っています。

「わり算」と「わけ算」、別物として扱ってもいい

少し極端な話をします。

等分除と包含除は、子どもにとって 最初は
まったく別のものに見えていることがあります。

「同じ数ずつ分ける」場面と
「いくつ分に分けられるか」を求める場面。

これを無理やり「どちらも÷だよ！」と教えてしまうと、
混乱する子も出てきます。

だったら、いっそのこと、子どもが納得するまで
「わり算」と「わけ算」として、別物として扱ってしまう
というのもありだと思っています。

等分する。わるという意味のわり算。
１２個のあめを３人で等分します。１人何個？→１２÷３=４

いくつ分を求めるわけ算。
１２個のあめを３つずつ配ると何人に分けられる？→１２：３=４

子どもが「なーんだ、全然違うじゃないか」と思っていい。
そのまま、しばらく別物として学んでいい。

（ちなみに式に「÷」と「：」を使いましたが、
　国によってわり算の記号はどちらも使われているそうです。）

本当のゴールは、子どもが自分で気づくこと

では、いつ「÷」でまとめるのか。
それは、子どもが自分で気づいたときです。

「あれ？わり算もわけ算も、同じに見える！」
「だったら毎回別々に考えるのも面倒だから、
　どちらも÷って書いていいんだ！」

この「なーんだ、同じだったんだ！」という瞬間こそが、
わり算の授業の本当のゴールだと思っています。

教師が「どちらも÷です」と教えるのではなく、
子どもが自分で「どちらも÷でいい」と気づく。

子どもが自分で気づくなんて無理だろう！
と思われる方もいらっしゃるかもしれませんが、
子どもたちの力を信じて待つことも大切だと思うのです。

最後に

等分除から入るか、包含除から入るか。
私自身、どちらから入ったこともあります。

大切なのは、
子どもが「なぜどちらも同じ÷で書いていいのか」を
自分の言葉で説明できるようになること。

そのプロセスを焦らず、
子どもの自然な思考に寄り添いながら進める。

教師が教える「理解」ではなく、
子どもがたどり着く「納得」。
その瞬間を、どれだけ待てるか。
それが、わり算の授業の質を決めるのかもしれません。

あなたのクラスでは、どんな「気づき」が生まれるでしょうか。

参考：杉山吉茂(2008)初等科数学科教育学序説　東洋館出版社
　　　杉山吉茂(2008)「わり算は包含除ー割合の理解の素地としてー　
　　　日本数学教育学会誌