【徹底的にお復習い💛】GARCHモデルのメリットとARMA過程からの繋がり：計量経済学✨No.23

2023年9月11日 16:38

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖

本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読くださいね💖

前回のお復習い✨

GARCH過程について🌟

今回の投稿では、ARCH過程の一般化したモデルであるGARCH過程について考察していきたいと思います

ARCHモデルを一般化したものとして、よく用いられるモデルにGARCH(generalized ARCH)モデルと呼ばれるモデルがあります

まずは、定義からしっかり確認します
(p, q) 次の一般化ARCH（Generalized ARCH, GARCH）過程は、任意の t について、以下のように定式化されました

$\\ GARCH(p,q) Process\\ \\ w_t = σ_tz_t \\σ ^2_ t = c + β_1σ^2_{ t−1} + · · · + β_pσ^ 2_{ t−p} + α_1w^ 2_{ t−1} + · · · + α_qw ^2_{ t−q} \\\{z_t\} ∼ I.I.D(0, 1)\\ \\\because c >0 , \beta_1,· · ·,\beta_p,\alpha_1,· · ·,\alpha_q \ge 0\\\to \sigma^2_t > 0 ,\forall t\\ \\\sigma_t^2 is known, at time point:t-1$

GARCHモデルの特徴は過去のショックの大きさの2乗 (ｗ^2_{t –q}) だけでなく、過去の条件付き分散の大きさ(σ^2_{t−q}) も今期の条件付き分散に影響を与えるところにあります

GARCHモデルのメリットについても言及します
実際のデータにおいては、2乗の相関が長期にわたって、観測されますので、これにARCH モデルを当てはめてしまうと、より多くのパラメーターが必要となりがち (qが大きくなりがち)になってしまいます

したがってGARCHモデルではより少ないパラメータでデータの2乗の相関をよく記述できるというメリットがあるということです

一般にパラメーターの数が少ないほど、モデルの推定精度は増すことが知られているからです👍

GARCH過程とARMA過程✨

任意の t について以下のような関係を想定します

$v_t := w^ 2 _t − σ ^2_ t, \forall t$

すると、以下の定理が成り立ちます

$\\ Theorem\\ \{w_t\} \backsim GARCH(p, q) \And \{v_t \} \backsim White Noise\\ \\\{ w^2_t \} \Rightarrow ARMA(max{p, q}, p)．$

またこの定理の証明は以下の通りになります

$Proof\\ \\given,r := max\{p, q\} \\ \\ w^ 2_ t ≡ σ^ 2_ t + v_t \\ = c + β_1σ^ 2_{ t−1} + · · · + β_pσ ^2 _{t−p}\\ + α_1w ^2_{ t−1} + · · · + α_qw ^2_{ t−q} + v_t \\ \\ = c + β_1σ ^2_{ t−1} + · · · + β_p σ^ 2_{ t−p} \\ + α_1w^ 2_{ t−1} + · · · + α_rw^ 2_{t−r} + v_t \\ \\ = c + (α_1 + β_1)w ^2_{ t−1} + · · · + (α_r + β_r)w ^2_{ t−r} + v_t \\ − β_1 ( w ^2_{ t−1} − σ^ 2_{ t−1} ) − · · · − β_p ( w ^2_{t−p} − σ^ 2_{ t−p} ) \\ \\ = c + (α_1 + β_1)w ^2_{ t−1} + · · · + (α_r + β_r)w^ 2_{ t−r} + v_t \\ − β_1v_{t−1} − · · · − β_pv_{t−p}, \forall t$

GARCHモデルにおける{y_t^2}のARMA表現について、上記で確認することができました

GARCHモデルにおける {y_t^2}のARMA表現において以下の2つの関係性が成り立っていることがわかります

(1) AR係数は　αj + βj
(2) MA係数は　– βj

これら2つの事に注意することが大切になります

したがって、このARMA表現より、GARCHモデルにおける y_t^2の期待値も簡単に求める事ができます

例えばGARCH(1, 1) モデルにおける E(y_t^2 ) は ω/(1 – α1 – β1 ) であるということです👍

モデルの定式化と推定📊

ラグ次数の選択ラグ次数は、モデル選択基準で選んでもよいとされていますが、無条件に GARCH(1,1) を仮定することが多いようです📝

私も卒業論文執筆において、EViewsという計量ソフトを用いて解析することに挑戦しますので、以下にリンクを貼り付けておきたいと思います

また条件付きML推定について言及しますと、 ARCH・GARCHモデルの厳密なML推定は煩雑になりますので、条件つきML推定が通常とされています
また係数に対する制約を考慮する必要があると言われていますので注意していきたいと思います（証明などは省略🙏）

次回は「構造変化の検定」という計量経済学のテーマを徹底的に考察していきたいと思います

マクロ経済学をより理解する手法としての
計量経済学ならびに時系列分析の知識を
一緒に獲得していきましょう🔥

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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