【White検定📊】不均一分散が存在する回帰モデルに対する検定について：計量経済学 No.14

2023年8月20日 14:35

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦

現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖

本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読くださいね💖

前回のお復習い✨

【系列相関とは？】自己相関の問題に直面する時系列モデルとOLS推定量：計量経済学🌈 No.11

【vs.自己相関🔥】Durbin-Watson検定を正しく実施するために大切なこと🌈：計量経済学 No.12

【不均一分散との闘い🔥】加重最小自乗法(WLS)による適切な回帰分析手法について：計量経済学 No.13

不均一分散の検定①：White Test

分散の均一性を検定する方法として、White検定があります📝

White検定は、不均一分散の原因を特定する
ことが困難な場合でも応用が効くという非常に便利な手法であるので、しっかりマスターしたい検定方法であるように思います🔥

以下では、White検定のプロセスについて
解説していきたいと思います！

まずはステップ１として、以下の回帰式を
考えていきます

$\\ \\y_i =\beta_0+\beta_1x_i+u_i\cdot\cdot\cdot(1)\\i=1,\cdot\cdot\cdot,n \\ \\ \\applying OLS\\\to Resudals :e_i(i=1,\cdot\cdot\cdot,n)$

この回帰式(1)を、最小自乗法(OLS)で推定し、その結果として得られる残差をeiとします

次に、ステップ２として、この残差に対して補助回帰(2)を考えます

$\\ \\ e_i^2 = \gamma_0+\gamma_1x_i+\gamma_2x_i^2+v_i\cdot\cdot\cdot(2)\\ \\applying OLS \to we get R^2$

この(2)式に対して、どうようにOLSを適用し、このモデルの決定係数R^2を求めます

ここで補助回帰の説明変数としては(1)式の説明変数、説明偏すの自乗項、説明変数の交差項を用いることがポイントです👍

そして、ステップ３として以下の帰無仮説と対立仮説を考えることになります

$\\ Null hypothesis\\ H_0 :\gamma_1=\gamma_2=0 \to homoscedasticity \\ \\Alternative hypothesis\\H_1:\gamma_1\not=0 or \gamma_2\not=0 \to heteroscedasticity$

帰無仮説は、均一分散であるということ
そして、対立仮説は、不均一分散があるということに対して、検定することになります

最後に、ステップ４として以下の考察をします
帰無仮説のもとで、標本数が大きいときには、次の関係が成立しています

$\\ \\ nR^2\backsim\chi^2(2) \cdot\cdot\cdot(3)$

ここで自由度(DF)は(2)式で示される補助回帰の定数項以外の説明変数の数に対応しています

またR^2は、回帰式(2)の決定係数であることにも留意が必要です💖

そして、ここまでの議論を踏まえて
次のように不均一分散の検定であるWhite検定の判断を行います

また有意水準100α%に対して
自由度2のカイ自乗分布の臨界値などから
考えて行くことになります

$White Test \\at the Significance level :\alpha \%\\ \\ \\nR^2 \ge \chi^2_{\alpha}(2)\to Reject H_0 \\nR^2 < \chi^2_{\alpha}(2)\to Accept H_0$

ただし、自由度2のカイ自乗分布の上側100α%点を基準に仮説検定を行っている点をここで確認しておきます

White検定では、補助回帰の説明変数はもとの回帰式の説明変数の1次の項、2次の項
および交差項を用いるというのが通常です

したがって、元々の回帰式の説明変数の数が
増えると、補助回帰の説明変数の数が
飛躍的に増加してしまうことに注意する必要があるように思います

もし、対象となる元の回帰式が以下であったとします
すなわち、定数項と説明変数が3つであるケースを考えます

$y_i = \beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2x_2 +\beta_3 x_3+u_i\\ \\ \\ Auxiliary Regression \\e_i^2 =\gamma_0+\gamma_1x_1+\gamma_2x_2+\gamma_3x_3\\ \\ +\gamma_4x_1^2+\gamma_5x_2^2+\gamma_6 x_3^2\\ \\ +\gamma_7x_1x_2 +\gamma_8 x_2x_3+\gamma_9x_2x_3$

上記の定式化のように、もし元の回帰式が
定数項＋説明変数の数が3つであれば
White検定の対象となる補助回帰における説明変数の数はなんと10個になってしまうのです

これは非常に複雑な重回帰分析になりますよね

このように対象となる回帰式の説明変数が増えると、補助回帰を構成する説明変数の数が爆増してしまうことに充分注意する必要がある点を今一度確認しておきます

本日の解説は、ここまでとします
次回は「不均一分散の検定②：Whiteの方法」というテーマを徹底的に考察していきたいと思います

マクロ経済学をより理解する手法としての
計量経済学ならびに時系列分析の知識を
一緒に獲得していきましょう🔥

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

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ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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