【見せかけの回帰？🤔】単位根の存在が回帰分析にもたらす甚大なインパクトについて：計量経済学✨ No.10

2023年8月13日 10:27

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖

本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読くださいね💖

前回のお復習い✨

非定常過程における時系列計量分析💛

今回は、非定常過程における時系列分析モデルを考えていくことにします

具体的には、単位根と回帰分析というテーマについて解説したいと思います

単位根の存在は、回帰分析に対して大きな影響を与えることが知られています

以下では、次のモデルを考えていくことにします

$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + u_t \cdot\cdot\cdot ①$

ここで、ｙtとｘtとが次のようなＩ(1)過程に従っていると仮定します

$x_t = \alpha_x + x_{t-1}+ \epsilon_{1t}\cdot\cdot\cdot ②\\ \\y_t = \alpha_y + y_{t-1}+ \epsilon_{2t}\cdot\cdot\cdot ③\\ \\notice,\epsilon_{1t}\And\epsilon_{2t} ～WN$

ただし、ε1t とε2t は互いに独立なホワイトノイズです
②式と③式から明らかなように、ｘtとｙtはともに単位根を持ちます

このような場合に、①式に基づいて回帰分析を行うと、次のような特徴が現れることが知られています

①決定係数(R^2)が高い
②DW比が低い（系列相関が大きい）
③ｔ値が高い

ここで②式と③式とから明らかなように、ｘtとｙtとは、本来は関係ない変数であるのにも関わらず①式に基づく回帰分析の結果は

モデルの当てはまり度合いを示す
決定係数R^2が高く、回帰係数のｔ値の値も
高いという結果を得る傾向が高くなってしまうのです

このような状況は、見せかけの回帰
（sprious regression）と呼ばれています
ちなみにこの現象を発見した計量経済学者は、Granger と Newbold(1974)だそうです･･･

したがって、②式と③式から派生されたデータに対して、①式を用いて回帰分析を行うと

推定された回帰式の係数β1^が（αy/αx)に確率収束することが知られている点も興味深いですよね👍

プラスワントピック：AR(1)モデルの相関係数🌟

以下では、1次の自己回帰過程AR(1)モデルの相関係数を求めます

実際の定式化や理論的なバックグラウンドを知らずして、時系列分析を理解することはできません💦

$AR(1) Model \\ \\u_t = \rho u_{t-1} + \epsilon _t \cdot\cdot\cdot (1)\\|\rho|<1\\ \\Sequential assignment for u_t \\ \\u_t = \displaystyle\sum_{j=0}^∞ \rho^j \epsilon_{t-j} \cdot\cdot\cdot (2)\\ \\$

まず、ｕtの期待値 E(･)は以下のように定式化されます

$Expectation\\ E(u_t)=E(\displaystyle\sum_{j=0}^∞ \rho^j \epsilon_{t-j})\\=\displaystyle\sum_{j=0}^∞\rho^j E(\epsilon_{t-j})=0 \cdot\cdot\cdot (3)$

続いて、ｕtの期待値 V(･)は以下のように求めていくことができます

$Variance\\ V(u_t) = E(u_t^2)\\=E[(\displaystyle\sum_{j=0}^∞ \rho^j \epsilon_{t-j})^2]\\ \\=\displaystyle\sum_{j=0}^∞ \rho^{2j}E(\epsilon^2_{t-j})\\ \\=\frac{1}{1-\rho^2}\sigma_{\epsilon}^2 \cdot\cdot\cdot (3)$

最後に、ｕtの共分散は(4)となります

$Covariance\\E(u_t u_{t-k})\\ \\=E[(\displaystyle\sum_{j=0}^∞ \rho^j \epsilon_{t-j})(\displaystyle\sum_{j=0}^∞ \rho^j \epsilon_{t-j-k})]\\ \\=\rho^k V(u_{t-k})\\ \\=\frac{\rho^k}{1-\rho^2} \sigma_{\epsilon}^2 \cdot\cdot\cdot (4)$

したがって、(3)式と(4)式より、相関係数を求めることができます

$Correlation Coefficient\\ \\Corr(u_t,u_{t-1})=\frac{E(u_t,u_{t-1})}{V(u_t)}=\rho \cdot\cdot\cdot (5)$

一次の自己回帰過程AR(1)モデルの相関係数は、(5)となりました
ここで着目すべきポイントは、ρはｕt とｕt-1との間の相関係数を表していることです📝

本日の解説は、ここまでとします
次回は「系列相関」というテーマを徹底的に考察していきたいと思います

マクロ経済学をより理解する手法としての計量経済学ならびに時系列分析の知識を一緒に得とくしていきましょう🔥

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

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考え方の引き出しが増えた！
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