物理自由度が決める超空間の時計：　　ウィーラー＝ドウィット方程式の時間

量子重力理論は、前世紀から多くの研究者によって探究されてきました。しかし、現在まだその完成を見ていません。特に理解が進んでいないのは、量子時空における「時間」の本性です。量子重力理論では、異なる時空の量子的な重ね合わせを考えます。すると各宇宙の中の観測者にとって、時間とは、各宇宙の宇宙の中を流れる時間のはずです。ところが重ね合わさっている、異なる時空の中の時間の流れ方は、異なる時空の形状に基づいて、全く別な流れ方になっているのです。そして、そのどの時空の時間にも他に比べて優劣はなく、そのため量子的宇宙において、特別な時間の流れは存在しないのです。宇宙の外に客観的な時間が存在していれば、それを採用すれば良いのですが、一般相対性理論の思想では、そのような宇宙の外は存在しませんし、またその外の時間もありません。

一般相対性理論の重力を量子化する、量子重力理論でも同様です。そのため量子力学のシュレディンガー方程式を量子重力に適用してしまうと、その波動関数や方程式から、時間変数が消えてしまうのです。量子重力理論の、その時間を持たないシュレディンガー方程式は、「ウィーラー＝ドウィット方程式」と呼ばれています。

通常の波動関数は、ある特定の時刻で可能なあらゆる事象に確率を与える概念ですが、その時刻を決める時間変数が存在しないので、ウィーラー＝ドウィット方程式の波動関数には、「時刻」という概念も出てきません。すると通常の意味での、その時刻での確率解釈（ボルン則）というものも、その意味がわからなくなります。

ところが物理学における時間は、物理的な時計で測られるべきという基本に戻ると、「時計」に対応する自由度を理論に入れて、その変数で時間を定義するのが良いのではないかという考えが出てきます。その時計変数と、他の物理量の関係性に注目することで、その宇宙の中の時間を読み取るというわけです。これは現在でも多くの研究者が探究している方向性の１つです。

それでも問題は残ります。特定の物理的自由度を、時計変数と見なしても、シュレディンガー方程式とは異なり、ウィーラー＝ドウィット方程式は、時間に関して１階の微分方程式になっていません。それは、時間に関する２階の微分方程式になっています。その結果として、保存する流れの密度部分は、シュレディンガー方程式のように非負にはなれません。正の値も負の値も出てくるので、その密度を通常のように「確率密度」と解釈することができないのです。

これはちょうど、前世紀の相対論的なスカラー場の理論の探究にも出てきた欠点です。この理論のクライン＝ゴルドン方程式も、時間に関して２階の微分方程式でした。そして同じように、流れの密度を「確率密度」とみなせない問題を抱えていました。それを解決したのが、「第２量子化」です。つまりクライン＝ゴルドン方程式に出てきた場を、波動関数ではなく、古典場だと解釈し直して、それを量子化するのです。それでできたのが「場の量子論」です。同様に量子重力理論のウィーラー＝ドウィット方程式に出てくる関数も、波動関数ではなく、宇宙の形状を決めている配位空間における、古典場だと見なして、それをさらに量子化するのが「第３量子化」という理論です。

ただ、このように時間変数を決めて、第３量子化を行うには、ウィーラー＝ドウィット方程式の中の時計自由度が１つであることが要求されます。他の多数の自由度は、方程式の中で空間的なプラスの符号を持っていて、時計自由度の１つだけが、時間的なマイナスの符号を持つ必要があります。時間の流れが２つ以上あると、因果律の解釈が破綻するためです。ところが実際に、時間は１つであるという性質を、ウィーラー＝ドウィット方程式は満たしているのです。今回はそれを確認しておきましょう。

まず４次元時空の計量テンソルを正準理論形式で扱うため、下記のようにADM変数を導入します。

そしてある時刻での空間断面を記述する３次元計量に対して、

という、時間方向の埋め込みを指定する量を定義し、これを使って、下記のように正準共役な運動量の自由度を導入します。

これらを使うと、一般相対性理論の作用は、

と表現できます。これを変分することで、アインシュタイン方程式と、ゲージ理論における第１種の拘束条件が２つ出てきます。その１つの拘束条件は、「ハミルトニアン拘束条件」と呼ばれ、

で与えられます。またもう１つの拘束条件は、「運動量拘束条件」と呼ばれ、

で与えられます。この２つの拘束条件の中で、下記のように量子化を実施します。

すると２本の拘束条件から、波動関数ψに対する２本の方程式が出てきますが、量子化されたハミルトニアン拘束条件が、ウィーラー＝ドウィット方程式です。その具体形は

という、空間の形を決める自由度の配位空間の中に定義された、「超計量テンソル」を使って与えられます。なおこの配位空間は「超空間」と呼ばれます。この超空間の各点は、特定の宇宙の形状を表しています。超計量テンソルの行列式の絶対値の平方根を

と書いたとき、この曲がった超空間の中でのダランベルシアン微分演算子は

で定義されます。これを使って、ウィーラー＝ドウィット方程式は

と与えられます。これは曲がった時空におけるクライン＝ゴルドン方程式の拡張のように見えています。この超空間でのダランベルシアン微分演算子は

という形をしており、したがってウィーラー＝ドウィット方程式も

という構造をしているからです。各時空点における超計量テンソルは、６つの自由度を持っています。この符号が１つの自由度だけマイナスである、リーマンテンソル構造を持つことを示す必要があるのですが、実際にそれは示せます。

まず空間計量の任意の変分を

と書きましょう。そしてそのトレース自由度を

と書きます。これを使うとトレースレス自由度は

で定義できます。トレース自由度とトレースレス自由度は、ベクトルとみなしたときに互いに直交しています。

この自由度の分解に基づいて、超空間でのダランベルシアン微分演算子の超計量テンソルの符号を見てみましょう。そのためには

の符号を調べるだけで十分です。これはトレース自由度とトレースレス自由度を使って、

と分解されます。ここでトレース自由度に関してはQは負になっており、これが時間を定義する時計自由度の役目を担えることがわかります。ただ、トレースレス自由度の他の５つの符号は正になることを確かめなくてはいけません。ところがトレースレス自由度は

を満たすため、確かに残り５つの自由度のQの符号は正になります。なおQが零になる方向の自由度はありません。従って超空間において、ウィーラー＝ドウィット方程式は、時空各点における超計量テンソルの符号が（-+++++）となっている、曲がった時空のクライン＝ゴルドン方程式とみなすことが可能なのです。この場ψを量子場にするのが、第３量子化理論です。
するとマルチバース理論のように、多数の異なる宇宙が量子的真空から生成され、その宇宙間をつなぐ量子的なワームホールも扱える枠組みになり得るのです。

一般相対性理論の超空間においても、時間の自由度は１つに決まっていることには、深い物理的意味が内在しており、時間の理解において今後重要となると考えられます。