愛と数学-隠された現実の心 Edward Frenkel (著)-序

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序章

私たちの隣には秘密の世界があります - 美しさと調和に満ち，私たちの世界と密接に絡み合った隠された平行宇宙です．これが数学の世界です．そして，私たちのほとんどにとって，それは目に見えないままです．私の本はこの魔法の世界への招待状です．Edward Frenkel

訳者注）隠された世界とは外界（森羅万象の法則の世界）のことです．「数学によってのみ外界が認識できる」と言った，デカルト，ホッブスを思い出します．

次のパラドックスを考えてみましょう：数学は私たちの日常生活に織り込まれています。インターネットで買い物をしたり、ウェブで必要な情報を見つけようとしたり、テキスト メッセージを送信したり、GPS デバイスを使用したりするたびに、数式やアルゴリズムを利用します。その一方で、数学はほとんどの人に畏敬の念を抱かせます。詩人ハンス・マグヌス・エンツェンスベルガーの言葉を借りれば、それは「私たちの文化の盲点であり、エリート、少数の学習者だけが、地位を確立できたエイリアンの地」となっています。「小説を読んだり、絵を眺めたり、映画を見たりすることを考えただけで、耐え難い苦痛を感じる人に出会う」ことはごくまれですが、「理性と教養のある人々」が、「軽蔑とプライドが混ざり合って」、数学は「退屈」で「拷問」または「悪夢」にすぎないとしばしば言います。

この異常を説明するものは何でしょう?
私の意見では、これには2つの理由があります。第一に、数学は他の科目よりも抽象的であり、そのためアクセスしにくい。第二に、私たちが学校で学ぶのは、数学のごく一部でほとんどが千年以上前に開発されたものにすぎず、それ以来、数学は信じられないほど進歩しましたが、私たちのほとんどは、どんな宝物が隠されているのかさえ気づいていません.

学校で、フェンスの描き方だけを教えられ、レオナルド・ダ・ヴィンチやピカソの作品を見せることのない「美術の授業」に強制的に出席させられたと想像してみてください。これをしながら芸術を鑑賞することを学ぶことができますか? 芸術についてもっと知りたいですか？
おそらく次のような答えになるでしょう：「学校の美術の授業は時間の無駄だった。 フェンスをペイントする必要がある場合は、適切な人を雇うだけです。」 ばかげているように聞こえるかもしれませんが、それが今日の数学の教え方です。 同時に、偉大な絵画の巨匠の作品は誰でも利用できますが、偉大な巨匠の数学は 7 つの封印で秘密のままです。

しかし、数学の魔法はその美しさだけにあるわけではありません。ガリレオの有名な言葉、「自然界の書物は数学の言葉で書かれている」は誰もが知っています。数学は、現実を説明する方法であり、私たちの世界がどのように機能するかを理解する方法であり、真実のゴールド スタンダードとなっている普遍的な言語です。科学と技術が社会の発展に重要な役割を果たしている私たちの世界では、数学はますます明確な力、富、進歩の源になりつつあります。したがって、この新しい言語を流暢に話せる人は、進歩の最前線にいます。

数学に関する一般的な誤解の 1 つは、数学は「ツール」としてのみ使用できるというものです。たとえば、生物学者は実験を設定し、データを収集してから、このデータに対応する数学的モデルを構築しようとします (おそらく数学者の参加を得て)。この形式の協力は重要ですが、数学は実際にはもっと多くのことを私たちに提供してくれます。根本的な突破口を開き、完全なパラダイム シフトを意味する発見を行うことができます。これは、数学の助けがなければ不可能です。
たとえば、アルバート アインシュタインが重力によって空間が曲がることに気付いたとき、彼は方程式を使用してデータを記述しようとはしませんでした。実際、そのようなデータはまったくありませんでした。当時、私たちの空間が湾曲しているとは誰も想像できませんでした。誰もが私たちが平らな世界に住んでいることを「知っていた」のです。しかし、アインシュタインは、重力と加速度が同じ効果を持つという彼の洞察と合わせて、これが彼の特殊相対性理論を非慣性系一般化する唯一の方法であることに気付きました。これは、アインシュタインが50年前の数学者バーナード・リーマンの業績に頼るだけで達成できた、数学の分野における最高レベルの知的飛躍でした。
人間の脳は、2 次元を超える湾曲した空間を想像できないようにプログラムされています。それらを研究して説明する唯一の方法は、数学を使用することです。あなたはどう思いますか？アインシュタインは正しかった！私たちの宇宙本当にねじれています。しかも拡大中。これが、私が話している数学の力です。

そのような多くの例は、物理学だけでなく、他の科学分野でも引用することができます (それらのいくつかについては以下で説明します)。歴史は、数学的アイデアが科学と技術をますます急速に変革していることを示しています。最初はもっぱら抽象的で難解なものと考えられていた数学的理論でさえ、後に応用問題を解決するために不可欠になることがよくあります。最初は数学に依存していなかったチャールズ ダーウィンは、後に自伝の中で次のように書いています。それをマスターした人々は、理性を働かせる追加のツールを備えているように私には思えます。私はこれが将来の世代のための優れた指示だと考えています。

子供のころは、私は隠された数学の世界があることを知りませんでした. ほとんどの人と同じように、数学は無味乾燥で退屈な科目だと思っていました。しかし、私は幸運でした。高学年で勉強しているときに、この魔法の世界を開いてくれるプロの数学者に出会いました。数学は無限の可能性に満ちており、優雅さと美しさにおいて詩、絵画、音楽に劣らないことを学びました。私は数学が好きになりました。

親愛なる読者の皆さん、この本の助けを借りて、私の先生や指導者が私にしてくれたことをあなたにもしたいと思います： 数学の力と美しさをあなたに明らかにし、私がかつてなんとかしたように、あなたがこの魔法の世界に入るのを助けることです．たとえあなたが「数学」と「愛」という言葉を同じ文で決して使わない人の一人であったとしても、数学が私の肌に浸透したのと同じようにあなたの肌に浸透し、世界のイメージは永遠に変わります。

数学の知識は他に類を見ません。物理的な世界に対する私たちの認識は常に歪められますが、数学的真実の認識は歪められません。これらは客観的で、永遠で、揺るぎない真実です。数式または定理は、性別、宗教、肌の色に関係なく、どこにいても誰にとっても同じことを意味します。千年後も同じ意味を持つ。しかし、さらに驚くべきことは、それがすべて私たちのものであるということです。数式の特許を取得する権利は誰にもありません。これらの数式はすべて私たちのものであり、共通のものです。この世界には、これほど深く洗練されていると同時に、誰もが平等にアクセスできるものはありません。そのような知識の貯蔵庫が実際に存在することは、ほとんど信じられないほどです。この知識は、少数の「選ばれた者」だけに与えるにはあまりにも価値があります。それは私たち一人一人のものです。

数学の重要な機能の 1 つは、情報の順序付けです。これが、ヴァン ゴッホのブラシの跡を単なる絵の具の塊と区別するものです。3D プリンティングの出現は、私たちが馴れ親しんでいる現実の根本的な変化を示します。物理的なオブジェクトの領域から、すべてが情報とデータの領域に流れ込み始めます。3D プリンターのおかげで、PDF を書籍に、MP3 を音楽に変換するのと同じくらい簡単に、情報から物質を作成できるようになります。このすばらしい新世界では、情報を整理して順序付けする方法として、また情報を物理的な現実に変換する手段として、数学がさらに重要な中心的な位置を占めるようになるでしょう。

この本では、過去 50 年間に数学で出現した最も偉大なアイデアの 1 つであるラングランズ プログラムについて話します。ラングランズ プログラムは、多くの人が数学の大統一理論と考えています。この魅力的な理論は、代数、幾何学、数論、解析、量子物理学など、光年離れているように見える数学の分野間の深いつながりの網を織り上げています。これらの地域を数学の秘密の世界の大陸として想像すると、ラングランズ プログラムは、私たちをある大陸から別の大陸へ瞬時に移動させ、また戻すことができるテレポーテーション デバイスのようなものです。

ラングランズ プログラムは、現在プリンストン高等研究所でアルバート アインシュタインのオフィスを持っている数学者、ロバート ラングランズによって 1960 年代後半に開始されました。このプログラムの根底には、対称性の理論があります。同時に、その基礎は、20 歳で決闘で殺される直前に、フランスの天才によって 200 年前に築かれました。その後、フェルマーの最終定理の証明を定式化することを可能にしただけでなく、数と方程式の理解に革命をもたらした別の驚くべき発見によって、それは豊かになりました. さらに別の鋭い洞察力は、数学には不可解なアナロジーと比喩に満ちた独自のロゼッタ ストーンがあることを示しました。数学の魅惑的な土地を流れる小川としてのこれらのアナロジーに従って、インスピレーション、深いアイデア、驚くべき啓示など、ほとんど注目されていない数学の側面を見ることができるように、これらすべてについてお話ししたいと思います。数学は、真実を求めて無限に飛び交う身近な空想の境界を打ち破る方法です。無限理論の創始者であるゲオルク・カントールは、「数学の本質はその自由にある」と書いています。数学は、現実を分析すること、事実を探求すること、それらが私たちを導くところならどこでもそれらに従うことを私たちに教えてくれます. 教義や偏見から私たちを解放し、私たちの革新的な可能性を養います。このように、数学が私たちに与えるものは、主題そのものをはるかに超えています。

しかし、この贈り物は善にも害にも利用できるため、数学が現実世界に与える影響に常に注意を払う必要があります。たとえば、世界的な経済危機は主に、金融市場で不適切な数学的モデルが広く使用されたことによって引き起こされました。多くの意思決定者は、自分自身の数学的無知のために、これらのモデルの本質を完全には理解していませんでしたが、システム全体の崩壊につながるまで、彼らの貪欲さだけに導かれて傲慢にモデルを適用し続けました. 彼らは、誰もブラフを開かないことを期待して、情報への非対称アクセスの利点を悪用しました. 多分、別の例を見てみましょう。1996 年、米国政府が任命した委員会は秘密会議で、消費者物価指数の計算式を変更しました。消費者物価指数は、課税、社会保障、健康保険、およびその他の指数による支払いを決定するインフレの尺度です。何千万人ものアメリカ人の利益が影響を受けましたが、新しい公式とその結果についての公の議論はありませんでした. そして最近、この式を「裏口」として使用して、舞台裏で米国経済に影響を与えようとする別の試みが行われました.

数学に精通した社会では、この種の秘密取引ははるかに少ないだろう. 数学は、厳密さと知的な正直さに事実への依存を掛け合わせたものです。今日の数学に支配された世界では、少数の権力者の恣意的な決定から身を守るために必要な数学的知識に、私たちは皆自由にアクセスできるべきです。数学のないところに自由はありません。

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数学は、芸術、文学、音楽と同じくらい私たちの文化遺産の一部です。私たち人間は、未知のもの、新しい目標の達成、宇宙とその中での私たちの場所の知識に対する生来の欲求を持っています. 残念ながら、コロンブスのように新しい大陸を見つけたり、月面に最初に足を踏み入れたりする必要はもうありません。しかし、私たちの世界の未知の不思議を求めて海を泳いだり、宇宙に行ったりする必要はないと言ったらどうでしょうか? それらは私たちの目の前にあり、日常の現実の繊維と絡み合っています。ある意味、彼らは私たちの一部です。数学は宇宙の流れを導き、あらゆる曲線や形の背後に隠れ、小さな原子から巨大な星まであらゆるものを支配しています。

私の本は、この豊かでまばゆい世界への招待状です。数学の教育を受けていない人のために書きました。数学が難しすぎて何も理解できないと思っているなら、数学が怖いけれど、同時に本当に知っておく価値のある何かがあるか知りたいと思っているなら、この本はあなたのためのものです.

数学を理解するには、何年もかけて勉強しなければならないというのはよくある誤解です。一部の人々は、それを理解する能力を持たずに生まれてきたと信じています。これには同意できません。私たちのほとんどは、太陽系、原子と素粒子、DNA の二重らせんなどの概念について聞いたことがあるでしょう。これらのことを初歩的に理解するために、物理学や生物学の特別なコースは必要ありません。そして、これらの複雑なアイデアが私たちの文化、私たちの集合意識の一部であるという事実に誰も驚かない。 同じように、誰もが数学の重要な概念とアイデアを理解できます。それらは適切に説明する必要があるだけです。そうすれば、数学の学習に何年も費やす必要がなくなります。多くの場合、退屈な手順を飛ばして問題の核心にたどり着くことができます。

問題は、全世界が惑星、原子、DNA について話しているにもかかわらず、対称群、「2 たす 2」が必ずしもそうではない非標準的な数体系など、現代数学の魅力的なアイデアについてはほとんど誰も教えてくれないことです。いわゆるリーマン面のような 4 つの美しい幾何学的形状を作成します。トラだと言い張って、小さな猫を見せているようなものです。しかし、実はトラは全く別の動物です。ウィリアム・ブレイクが雄弁に言ったように、その「驚くべき対称性」を理解できるように、その素晴らしさをすべてお見せします.

私はあなたを誤解させません: この本を読んだ後、あなたはすぐに数学者になることはありません. しかし、誰もが数学者になるために努力すべきだと言っているわけではありません。ですから、いくつかのコードを覚えれば、ギターでかなりの数の曲を演奏できるようになります。世界一のギタリストになれるわけではありませんが、あなたの人生を豊かにしてくれます。この本では、長い間隠されてきた現代数学のコードを紹介します。そして、あなたの人生を豊かにすることをお約束します。

私の教師の 1 人である偉大なイスラエルの Moiseevich Gelfand は、次のように述べています。酔っぱらいに 2/3 と 3/5 のどちらが大きいか尋ねても、彼は答えられません。しかし、質問を再定式化すると、ウォッカ 3 本に対してウォッカ 2 本、5 本に対してウォッカ 3 本のどちらが良いか、すぐにわかります。もちろん、3 本に対して 2 本です。

この本での私の目標は、すべてを理解できる言葉で説明することです。
訳者注）マーフィーの法則で、「言葉が通じなければそれは数学」と揶揄的に定義されている．

また、抑圧的な政権に直面して数学が自由の防波堤となったソビエト連邦での私の生活についてもお話しします。当時ソビエト連邦で施行されていた差別政策のため、私はモスクワ州立大学に受け入れられませんでした。目の前でドアがバタンと閉まりました。私はのけ者でした。しかし、私はあきらめませんでした。講義とゼミのために大学に忍び込んだ。数学の教科書を独学で勉強し、夜更かしすることが多かった。最終的に、システムをだますことができました。彼らはドアを通らせてくれませんでしたが、私は窓から飛び込みました。結局のところ、人が恋をしているなら、彼を止めるものは何もありません。

2 人の素晴らしい数学者が私を彼らの庇護の下に連れて行き、私のメンターになりました。彼らの指導の下、私は独自の数学的研究を始めました。私はまだ研究所の学生でしたが、すでに未知の境界を突破しようとしていました。それは私の人生で最もエキサイティングな時期であり、差別的な政策がソビエト連邦で私の専門分野の仕事を得ることができないと確信していたにもかかわらず、私は好きなことをしていました.

しかし、私には驚きが待ち受けていました。私の最初の数学的研究は密かに国外に持ち出され、有名になりました。その結果、21 歳のとき、ハーバード大学の教授として臨時のポストに就くよう招待されました。奇跡的に、同じ頃、ソビエト連邦でペレストロイカが始まり、鉄のカーテンが崩壊し、ソビエト市民は海外旅行の機会を得ました。それで、博士論文を擁護することさえできなかった私は、ハーバード大学の教授になり、再びシステムをハッキングしました。その後、科学の道を歩み続け、ラングランズ プログラムの最前線で研究を行うようになり、過去 20 年間にわたってこの分野の発展に貢献することができました。この本では、著名な科学者によって得られた驚くべき結果の説明を見つけることができます。

しかし、何よりもまず、この本は愛についてです。私はかつてこのビジョンを持っていました: 数学者が「愛の公式」を発見し、これが映画 Rites of Love and Mathematics の始まりとなりました。この映画を上映するたびに、誰かが必ず「愛には公式があるのですか？」と尋ねます。

私の答えは、「私たちが発見するすべての式は愛の式です。」結局のところ、数学は、存在するすべてのもののまさに中心に浸透し、文化、大陸、世紀を通じて私たちを結び付ける、永遠で計り知れない知識の源です。私たち一人一人が、この世界とお互いへの愛に新しい意味を与えるこれらのアイデア、公式、方程式の魔法のような美しさと絶妙な調和を見て、感謝し、賞賛できるようになることを夢見ています.

読者へのアドバイス

私は、この本の数学的概念を最も初歩的で直感的な方法で提示するためにあらゆる努力をしました。ただし、いくつかの部分が数学で過負荷になっているように見える場合があることは理解しています (特に、第 8 章、第 14 章、第 15 章、および第 17 章の断片)。最初の読書で、理解できない、または退屈だと思う資料をスキップすることは何も悪いことではありません (私はしばしばこれを自分で行います)。後で戻ってきて、新しい知識を身につけていると、はるかに理解しやすくなっていることに気付くかもしれません。ただし、これは通常、次に説明する内容を理解するためには必要ありません。

何かについて混乱するのは完全に正常であることを強調することは非常に重要だと思います. 数学をしているとき、私は 90% の確率でこの感覚に陥っています。私の世界へようこそ! 混乱 (時には絶望さえも) は、数学者なら必ず伴う感情です。しかし、この状況には明るい面もあります。すべてが明確で、ほとんど努力することなくすべてを整理できるとしたら、人生がどれほど退屈になるか想像してみてください。数学をこれほどエキサイティングなテーマにしているのは、混乱を克服したい、理解できないものを理解したい、未知のベールを取りたいという私たちの願望です。そして、私たちが理解したかったことを理解したときの個人的な勝利の感覚は、経験とコストを正当化します.

この本では、技術的な詳細ではなく、全体像と、さまざまな概念と数学のさまざまな分野の間の論理的なつながりに焦点を当てています。多くの場合、より詳細な議論はメモに記載されており、有用な資料へのリンクや追加の読み物への提案も提供されています。ただし、脚注は主要な資料を理解するのに役立ちますが、安全にスキップできます (少なくとも最初の読書では)。

式の使用を最小限に抑え、可能な場合は口頭での説明を選択しました。しかし、本の中のいくつかの公式を見逃しても大丈夫です。

数学用語についての警告: この本を書いている過程で、私は驚いたことに、数学者によって特定の方法で使用される特定の用語が、非数学者にとってはまったく異なるものを意味する可能性があることを発見しました。これらは、「対応」、「表現」、「構成」、「ループ」、「多様性」、「理論」などの用語です。そのような誤解が生じる可能性がある場合はいつでも、私は追加の説明を提供しました. また、可能な限り、いくつかの数学用語を他のより理解しやすい定義に置き換えようとしました。単語が理解できないと思われる場合は、本の最後にある用語集をいつでも見ることができます。

私のウェブサイトhttp://edwardfrenkel.comにアクセスしてください。ここには追加の資料があります。また、この本の印象を共有したい場合は、私にメッセージを送信することもできます (私のメール アドレスはサイトに記載されています)。私はあなたのフィードバックに感謝します。