体の拡大

（２）ガロアの登場（19世紀前半）

3次方程式，4次方程式には代数的な解の公式があるが，5次以上の方程式は，一般には，代数的な解の公式が作れない．解を代数的に書けるのは運のよい場合である．
誤解しないで欲しいが，解自体が存在しないわけではない．一般に，$n$次方程式には$n$個の複素数の解が存在する（これはガウスにより証明された）．
方程式$x^4-4=0$の場合，有理数体$Q$上の解なら$(x^2-2)(x^2+2)=0$，拡大体$Q(\sqrt{2})$上の解なら$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2)=0$，拡大体$Q(\sqrt{2},i)$上まで広げると$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)=0$と因数分解でき，４つのすべての解が求まる．つまり，考慮する有理数体の拡大の大きさにより，記述できる解の個数が変わる．そして，有限回の代数的手法で拡大した有理数体の中に解がすべて存在するかを問うている．

方程式の係数の有理数体$Q$からスタートして，ベキ根を加えて体の拡大を有限回繰り返し，すべての解を含む拡大体$K$に到着するなら，拡大体$K$内で代数的な解の公式が存在する．
一般に，有理数体$Q$上の$n$次の多項式方程式（代数方程式）方程式には$n$個の複素数の解が存在する（ガウス）のだが，有限個のベキ根を加えた$Q$の拡大体に虚数$i$を付加して拡大体$K$を作っても，すべての解を含む複素数体をカバーしきれない．複素数体に解があると言っても，有限回の代数的操作でその解にたどり着けるとは限らない．
有理数体から実数体や複素数体への拡大は有限回の代数的な拡大ではない．
（注）$Q$上の多項式の根になり得る数を代数的といい，$Q$上のいかなる多項式の根にもなり得ない数は超越数という．つまり，$\pi$などは超越数でありこれを根とする代数方程式は作れない．

有理数体にべき乗根を付加した拡大体において，解の置換群を考え，この置換群の正規部分群の列により拡大体が順次縮小でき単位群$1$に至れば，解の公式が存在するというのがガロア理論の本質にある．正規部分群による縮小（正規部分群を核とする準同型写像）の各段階で定義される商群が巡回群であるなら，解の対称性がいつも保存されることになる．
一般的な５次方程式では，解の置換群は位数120の5次の対称群であり，その正規部分群は位数60の交代群である．この交代群は単純群なので，その下に真の正規部分群を含まず可解ではなく，一般的な5次方程式には代数的解法がない．
例）4次方程式の場合は代数的な解がある：

■結晶群での解釈

これは，結晶群における群の拡大の仕組みを思い起こさせる．
結晶は周期的な構造（デジタル化された構造）を持ち，並進群$T$で記述される構造である．これに，回転対称操作や鏡映対称操作などの結晶点群$G$の対称操作を付加することで，並進群を拡大して結晶空間群$\it \Phi$を得ることができる．
逆の表現をすれば，並進群は，結晶空間群の中の正規部分群であるので，並進群を核とする準同型写像により結晶空間群$\it \Phi$は必ず結晶点群$G$に縮小帰着できる．
$\it \Phi=T\otimes G$         $\it \Phi /T \simeq G$

結晶点群$G$の場合，２つの部分群$G_{1}, G_{2}$（どちらも正規部分群ではない）の半直積で構成される場合があり，準同型写像が成り立たず，その場合はそこから先は結晶点群を縮小することができない．$G=G_{1}\oslash G_{2}$

注）正規部分群と剰余類

　部分群$H$によるラグランジュ展開の任意の左剰余類の積$g_{i}H\cdot g_{j}H$が，ばらけずに丸ごと別の左剰余類$g_{s}H$に対応するならば，左剰余類は群を作る．この条件は$g_{i}H\cdot g_{j}H=g_{i}g_{j}H$となることであり，$Hg_{j}＝g_{j}H$を意味する．
これは$H$が$\it \Phi$の正規部分群であることに他ならない．

（１）に戻る https://note.com/sgk2005/n/n68ac87eb04a6