電験三種・変圧器の部分負荷効率｜鉄損は一定、銅損は負荷比の二乗
負荷を75％にした変圧器で、銅損も75％にしていませんか。
出力に掛けるのは負荷比x、銅損に掛けるのはx²です。この違いから効率を組み立て、最大効率になる負荷を独自例で確かめます。計算はこの記事内で完結します。
1｜先に、一定にする条件を置く
ここでは定格電圧・周波数で運転する変圧器を扱い、電圧降下や巻線抵抗の温度変化などを省きます。二次電圧を一定とみなし、無負荷損≒鉄損、負荷損≒銅損として計算する学習用モデルです。（参考1・2）
使う記号は次の五つです。
・S_N：変圧器の定格容量［kVA］
・x：二次電流÷定格二次電流。このモデルでは、負荷の皮相電力÷S_Nとも一致
・cosφ：負荷の力率
・P_i：鉄損［kW］。上の条件で一定とする
・P_cN：定格電流を流したときの全負荷銅損［kW］
xは単位のない比で、75％なら0.75、全負荷なら1です。ここでの負荷比は、需要設備で使う「平均電力÷最大需要電力」の負荷率とは区別してください。
2｜出力と損失を別々に計算する
負荷へ渡す有効電力は、
P_out＝x×S_N×cosφ［kW］
銅損は巻線の抵抗で生じるI²Rの損失なので、
P_c(x)＝x²×P_cN［kW］
となります。鉄損P_iにはxを掛けません。（参考1）
たとえば電流が半分なら、出力は同じ力率で半分、銅損は4分の1です。全損失は「一定の鉄損＋その負荷での銅損」で求めます。
入力＝出力＋鉄損＋銅損
したがって、損失から計算する規約効率は、
η＝P_out÷(P_out＋P_i＋x²P_cN)×100［％］
です。分子・分母はすべてkWにそろえます。S_NがkVAなので、出力には力率を掛けてから損失と足します。
3｜独自例：75％負荷と、最大効率を比べる
以下は本記事の独自作成問題です。公式試験問題の転載・改題ではありません。
定格容量80kVA、鉄損320W、全負荷銅損1,280Wの変圧器があります。上のモデルを用い、負荷の力率は0.80で一定とします。
問：負荷比0.75のときの効率と、0＜x≦1で最大効率になる負荷比・入出力を求めてください。
まず損失をkWへ直します。
P_i＝0.320kW、P_cN＝1.280kW
負荷比0.75では、
P_out＝0.75×80×0.80＝48.00kW
P_c＝0.75²×1.280＝0.720kW
P_in＝48.00＋0.320＋0.720＝49.040kW
η＝48.00÷49.040×100＝約97.88％
銅損は全負荷時の56.25％です。0.75×1.280＝0.960kWとすると、電流の二乗を落としています。
4｜なぜ「鉄損＝銅損」で最大になる？
ここからは力率を正の一定値に保ち、xだけを変えます。効率の式を出力で割って書くと、
η＝100÷{1＋(P_i/x＋xP_cN)÷(S_Ncosφ)}
です。S_Ncosφは一定なので、効率を大きくするには、P_i/x＋xP_cNを小さくします。
この二つの項の積は、xが変わってもP_iP_cNで一定です。正の二数は、積が一定なら、等しいときに和が最小になります。したがって、
P_i/x＝xP_cN
P_i＝x²P_cN
x_max＝√(P_i÷P_cN)
となります。（参考2）
等しいのは「その負荷での銅損」と鉄損です。全負荷銅損P_cNと鉄損を、いつでも等しいものとして扱わないでください。
独自例では、
x_max＝√(0.320÷1.280)＝0.50
このときの皮相電力は0.50×80＝40.0kVA。有効出力は、
P_out＝40.0×0.80＝32.00kW
銅損は0.50²×1.280＝0.320kWで、鉄損と一致します。
P_in＝32.00＋0.320＋0.320＝32.640kW
η_max＝32.00÷32.640×100＝約98.04％
75％負荷より出力は小さくなりますが、出力に対する損失の割合が小さくなり、効率は上がります。最大効率は、最大出力や損失ゼロを意味しません。
なお、√(P_i÷P_cN)が許された運転範囲の中にあることも確認します。0＜x≦1で考え、計算値が1を超える場合は、この範囲ではx＝1が最大です。定格超えでの運転を勧める式ではありません。
確認問題：計算した負荷比が1を超えたら？
ここだけ別の変圧器を使う独自の確認問題です。定格容量80kVA、鉄損1.8kW、全負荷銅損0.8kWとします。先ほどと同じ学習モデルで、電圧・周波数と力率0.80は一定です。0＜x≦1で効率が最大になる負荷比xを求めてください。
答えはx＝1です。鉄損と銅損が等しくなる値は√(1.8/0.8)＝1.5ですが、指定範囲外なので採用できません。
出力は64x kW、損失は1.8＋0.8x² kWです。効率を最大にするには、損失／出力＝(1.8/x＋0.8x)/64を最小にします。0＜x＜1では、分子とx＝1での値との差が
1.8/x＋0.8x－2.6＝(1－x)(1.8/x－0.8)＞0
となるので、範囲内ではx＝1が最大です。その効率は64/(64＋2.6)×100≒96.10％。計算した極値の候補が、設問の範囲内にあるかまで確認しましょう。
次の検算では、元の鉄損0.320kW・全負荷銅損1.280kWの例に戻ります。
5｜最後の検算は三つ
・全負荷x＝1：出力64.00kW、銅損1.280kW、入力65.600kW、効率約97.56％。今回の最大効率98.04％を下回ります。
・負荷ゼロx＝0：出力も銅損もゼロですが、通電中の鉄損0.320kWは残ります。元の式で効率は0％。xで割った導出式には0を代入しません。
・単位：出力・入力・損失はkW、効率は％。時間を掛けていないのでkWhは出てきません。
覚える順番は「出力はx、銅損はx²、鉄損は一定」。その後に、出力÷入力へ戻して確かめてください。力率が負荷とともに変わる場合や、補機損・温度変化などを含む場合へ、最大効率の条件をそのまま広げません。
本記事は資格学習の計算モデルの説明です。実設備の選定・運転変更・測定手順は扱いません。
効率の掛け算・割り算やkWとkWhから復習する場合は、こちらの無料記事も使えます。
「電験三種｜kWとkWhの取り違えを3問で復習。効率80％は掛ける？割る？」
https://note.com/sikaku_rakutoru/n/n0156f668f9c8
参考資料
参考1：公益社団法人 日本電気技術者協会「変圧器の効率、全日効率の計算」第1・2節。負荷比、出力、銅損の扱い。
https://www.jeea.or.jp/course/contents/12148/index_small.html
参考2：公益社団法人 日本電気技術者協会「変圧器の電圧変動率と損失および効率計算」第2節・第3-1節。損失の区分、規約効率、最大効率条件。
https://www.jeea.or.jp/course/contents/05101/index_small.html
次に読む無料解説
・三相電力で、力率に使う角度を読み直す
「三相電力の3問」では、線間電圧と電流の位相差を、そのまま力率角にしないための確認を練習します。今回の変圧器の例とは別に、三相平衡・Y結線の条件を置いた学習例です。
解説URL：
部分負荷効率の例題から、電験三種「機械」の試験対策へ進みたい方へ。90分・17題の解法とCBT対策を扱う教材です。変圧器の部分負荷効率だけを扱う教材ではないため、収録範囲を見本で確かめてください。
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