ここでは剰余類 、及び正規部分群 について解説をします。この考えは、「５次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを証明する上での重要なアイデアです。
置換の積に関して、３次対称群 S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 \{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}=S_3 { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = A 3 \{id, \rho_2, \rho_3\}=A_3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = A 3 { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 } { i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 } { i d } \{id\} { i d }
A 3 A_3 A 3 ３次交代群 とよばれます。（群であるので当然ですが）これらはすべて、以下の群の定義を満たします。
群の定義（復習） 空でない集合 G G G a , b , c a, b, c a , b , c ∗ * ∗ G G G a , b , c a, b, c a , b , c ∗ * ∗ G G G ∗ * ∗ 群 であるという。a ∗ b a*b a ∗ b G G G 交換法則 ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) (a*b)*c=a*(b*c) ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) a ∗ e = e ∗ a = a a*e=e*a=a a ∗ e = e ∗ a = a 単位元 e e e G G G a ∗ x = x ∗ a = e a*x=x*a=e a ∗ x = x ∗ a = e 逆元 x x x G G G
＊＊＊
(1) を満たすことを、集合 G \bm G G は演算 ∗ \bm * ∗ について閉じている といいます。演算の結果、集合 G G G 単位元 といいます。逆元 といいます。
要するに群とは、イメージとして
部分群の「置換の積」の演算表 部分群について補足していきます。部分群S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 }
後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 3 τ 1 τ 2 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 τ 1 τ 2 τ 3 i d ρ 2 ρ 3 τ 2 τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2& \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
得られる 6 × 6 = 36 6\times6=36 6 × 6 = 36 S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3
置換の積は可換ではないこと ここで、置換の積の順序を入れ替えると、必ずしも同じにならないことに注意しましょう。例えばρ 2 ρ 3 = i d \rho_2\rho_3=id ρ 2 ρ 3 = i d ρ 3 ρ 2 = i d \rho_3\rho_2=id ρ 3 ρ 2 = i d
後 先 i d ρ 2 ~ ρ 3 ‾ τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ‾ ρ 2 ρ 3 i d ‾ τ 3 τ 1 τ 2 ρ 3 ~ ρ 3 i d ~ ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 τ 1 τ 2 τ 3 i d ρ 2 ρ 3 τ 2 τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \utilde{\rho_2} & \underline{\rho_3} & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\underline{\rho_2} & \rho_2 & \rho_3 & \underline{id} & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\utilde{\rho_3} & \rho_3 & \utilde{id} & \rho_2& \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
と同じになる場合もありますがρ 2 τ 1 = τ 3 \rho_2\tau_1=\tau_3 ρ 2 τ 1 = τ 3 τ 1 ρ 2 = τ 2 \tau_1\rho_2=\tau_2 τ 1 ρ 2 = τ 2
後 先 i d ρ 2 ~ ρ 3 τ 1 ‾ τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ‾ ρ 2 ρ 3 i d τ 3 ‾ τ 1 τ 2 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 ~ τ 1 τ 2 ~ τ 3 i d ρ 2 ρ 3 τ 2 τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \utilde{\rho_2} & \rho_3 & \underline{\tau_1} & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\underline{\rho_2} & \rho_2 & \rho_3 & id & \underline{\tau_3} & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2& \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\utilde{\tau_1} & \tau_1 & \utilde{\tau_2} & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
やτ 1 τ 2 = ρ 2 \tau_1\tau_2=\rho_2 τ 1 τ 2 = ρ 2 τ 2 τ 1 = ρ 3 \tau_2\tau_1=\rho_3 τ 2 τ 1 = ρ 3
後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 ~ τ 2 ‾ τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 3 τ 1 τ 2 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 ‾ τ 1 τ 2 τ 3 i d ρ 2 ‾ ρ 3 τ 2 ~ τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ~ i d ρ 2 τ 3 τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \rho_2 & \rho_3 & \utilde{\tau_1} & \underline{\tau_2} & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2& \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\underline{\tau_1} & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \underline{\rho_2} & \rho_3\\ \hline
\utilde{\tau_2} & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \utilde{\rho_3} & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
のように、積の順序を入れ替えると、一般には結果が異なります。可換 』であるといいます。例えば、実数のたし算やかけ算は可換です。2 + 1 = 1 + 2 2+1=1+2 2 + 1 = 1 + 2 3 × ( − 2 ) = ( − 2 ) × 3 3\times(-2)=(-2)\times3 3 × ( − 2 ) = ( − 2 ) × 3
以下、他のすべての部分群に関して、該当している部分について置換の積の演算表を記していきます。
A 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } A_3=\{id, \rho_2, \rho_3\} A 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
後 先 i d ρ 2 ρ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-11pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
& id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id\\ \hline
\rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d ρ 3 ρ 3 i d ρ 2
得られる 3 × 3 = 9 3\times3=9 3 × 3 = 9 A 3 A_3 A 3 A 3 A_3 A 3 A 3 A_3 A 3 S 3 S_3 S 3
{ i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 }
後 先 i d τ 1 i d i d τ 1 τ 1 τ 1 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
& id & \tau_1\\ \hline\hline
id & id & \tau_1\\ \hline
\tau_1 & \tau_1 & id
\end{array} 後 先 i d τ 1 i d i d τ 1 τ 1 τ 1 i d
得られる 2 × 2 = 4 2\times2=4 2 × 2 = 4 { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 }
{ i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 }
後 先 i d τ 2 i d i d τ 2 τ 2 τ 2 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
& id & \tau_2\\ \hline\hline
id & id & \tau_2\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & id
\end{array} 後 先 i d τ 2 i d i d τ 2 τ 2 τ 2 i d
{ i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 }
後 先 i d τ 3 i d i d τ 3 τ 3 τ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
& id & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \tau_3\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & id
\end{array} 後 先 i d τ 3 i d i d τ 3 τ 3 τ 3 i d
{ i d } \{id\} { i d }
後 先 i d i d i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{35pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c}
& id\\ \hline\hline
id & id
\end{array} 後 先 i d i d i d
部分群ではない場合の演算表 比較として、部分群ではないいくつかの集合について、置換の積の表を記していきます。
（例１）{ τ 1 , τ 2 , τ 3 } \{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
後 先 τ 1 τ 2 τ 3 τ 1 i d ρ 2 ρ 3 τ 2 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-11pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
& \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
\tau_1 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 τ 1 τ 2 τ 3 τ 1 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 ρ 3 ρ 2 i d
そもそも要素に単位元 i d id i d { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
（例２）{ i d , τ 2 , τ 3 } \{id, \tau_2, \tau_3\} { i d , τ 2 , τ 3 }
後 先 i d τ 2 τ 3 i d i d τ 2 τ 3 τ 2 τ 2 i d ρ 2 ‾ τ 3 τ 3 ρ 3 ‾ i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-11pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
& id & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & id & \underline{\rho_2}\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \underline{\rho_3} & id
\end{array} 後 先 i d τ 2 τ 3 i d i d τ 2 τ 3 τ 2 τ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 ρ 2 i d
ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3 { i d , τ 2 , τ 3 } \{id, \tau_2, \tau_3\} { i d , τ 2 , τ 3 }
（例３）{ i d , ρ 2 } \{id, \rho_2\} { i d , ρ 2 }
後 先 i d ρ 2 i d i d ρ 2 ρ 2 ρ 2 ρ 3 ‾ \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
& id & \rho_2\\ \hline\hline
id & id & \rho_2\\ \hline
\rho_2 & \rho_2 & \underline{\rho_3}
\end{array} 後 先 i d ρ 2 i d i d ρ 2 ρ 2 ρ 2 ρ 3
ρ 3 \rho_3 ρ 3 { i d , ρ 2 } \{id, \rho_2\} { i d , ρ 2 }
ここで、新しい集合の概念、補集合について解説します。
補集合について 考えている対象全体の集合を全体集合 といいます。全体集合 U U U A A A A A A U U U U U U A A A 補集合 といい、A ‾ \overline{A} A A A A A A A
一般に、A A A A ‾ \overline{A} A 和集合 （両方合わせた集合）は U U U A A A A ‾ \overline{A} A 共通部分 （重なる部分）はありません。U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } U=\{1, 2, 3, 4, 5\} U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A = { 1 , 2 , 3 } A=\{1, 2, 3\} A = { 1 , 2 , 3 } U U U A A A A ‾ = { 4 , 5 } \overline{A}=\{4, 5\} A = { 4 , 5 }
A A A A ‾ \overline{A} A U U U A A A A ‾ \overline{A} A U U U B = { 2 , 5 } B=\{2, 5\} B = { 2 , 5 } B ‾ = { 1 , 3 , 4 } \overline{B}=\{1, 3, 4\} B = { 1 , 3 , 4 }
B B B B ‾ \overline{B} B U U U B B B B ‾ \overline{B} B A 3 A_3 A 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N N N S 3 S_3 S 3 N N N N ‾ \overline{N} N N ‾ = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \overline{N}=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
N N N N ‾ \overline{N} N S 3 S_3 S 3 N N N N ‾ \overline{N} N N N N S 3 S_3 S 3 N ‾ \overline{N} N
ここで、N N N N ‾ \overline{N} N 剰余類 の解説です。
剰余類について まず、N N N S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } N N N N ‾ \overline{N} N i d id i d
(1a) 左から i d id i d N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d id i d ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3 i d id i d i d i d = i d idid=id i d i d = i d i d ρ 2 = ρ 2 id\rho_2=\rho_2 i d ρ 2 = ρ 2 i d ρ 3 = ρ 3 id\rho_3=\rho_3 i d ρ 3 = ρ 3 N N N N N N i d id i d i d N idN i d N
i d N = i d { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { i d i d , i d ρ 2 , i d ρ 3 } \begin{align*}
idN&=id\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{idid, id\rho_2, id\rho_3\}\\
\end{align*} i d N = i d { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { i d i d , i d ρ 2 , i d ρ 3 }
すべての N N N i d id i d
i d N = i d { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { i d i d , i d ρ 2 , i d ρ 3 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N \begin{align*}
idN&=id\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{idid, id\rho_2, id\rho_3\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=N
\end{align*} i d N = i d { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { i d i d , i d ρ 2 , i d ρ 3 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N
結果は N N N
(1b) 右から i d id i d N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d id i d i d i d = i d idid=id i d i d = i d ρ 2 i d = ρ 2 \rho_2id=\rho_2 ρ 2 i d = ρ 2 ρ 3 i d = ρ 3 \rho_3id=\rho_3 ρ 3 i d = ρ 3 N N N N N N i d id i d N i d Nid N i d
N i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d = { i d i d , ρ 2 i d , ρ 3 i d } \begin{align*}
Nid&=\{id, \rho_2, \rho_3\}id\\
&=\{idid, \rho_2id, \rho_3id\}
\end{align*} N i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d = { i d i d , ρ 2 i d , ρ 3 i d }
すべての N N N i d id i d
N i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d = { i d i d , ρ 2 i d , ρ 3 i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N \begin{align*}
Nid&=\{id, \rho_2, \rho_3\}id\\
&=\{idid, \rho_2id, \rho_3id\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=N
\end{align*} N i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d = { i d i d , ρ 2 i d , ρ 3 i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N
これも、結果は N N N
i d N = ( 1 a ) N = ( 1 b ) N i d \begin{align*}
idN\hspace{-2pt}\underset{(1a)}{=}\hspace{-2pt}N\hspace{-2pt}\underset{(1b)}{=}\hspace{-2pt}Nid
\end{align*} i d N ( 1 a ) = N ( 1 b ) = N i d
となり、i d N idN i d N N i d Nid N i d N N N
i d N = N i d = N N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
idN=Nid=N & \hspace{31pt}\overline{N}\hspace{31pt}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} i d N = N i d = N i d ρ 2 ρ 3 N τ 1 τ 2 τ 3
以下、S 3 S_3 S 3
(2a) 左から ρ 2 \rho_2 ρ 2
ρ 2 N = ρ 2 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { ρ 2 i d , ρ 2 ρ 2 , ρ 2 ρ 3 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d } ⋯ ( ∗ 1 ) = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ⋯ ( ∗ 2 ) = N \begin{align*}
\rho_2N&=\rho_2\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{\rho_2id, \rho_2\rho_2, \rho_2\rho_3\}\\
&=\{\rho_2, \rho_3, id\} \cdots (*1)\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3\} \cdots (*2)\\
&=N
\end{align*} ρ 2 N = ρ 2 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { ρ 2 i d , ρ 2 ρ 2 , ρ 2 ρ 3 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d } ⋯ ( ∗ 1 ) = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ⋯ ( ∗ 2 ) = N
なお ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 ) ( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 ) { ρ 2 , ρ 3 , i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } \{\rho_2, \rho_3, id\}=\{id, \rho_2, \rho_3\} { ρ 2 , ρ 3 , i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
（例）{ 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} { 1 , 2 , 3 } { 2 , 3 , 1 } \{2, 3, 1\} { 2 , 3 , 1 } { 1 , 2 , 3 } = { 2 , 3 , 1 } \{1, 2, 3\}=\{2, 3, 1\} { 1 , 2 , 3 } = { 2 , 3 , 1 }
(2b) 右から ρ 2 \rho_2 ρ 2
N ρ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ρ 2 = { i d ρ 2 , ρ 2 ρ 2 , ρ 3 ρ 2 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N \begin{align*}
N\rho_2&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\rho_2\\
&=\{id\rho_2, \rho_2\rho_2, \rho_3\rho_2\}\\
&=\{\rho_2, \rho_3, id\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=N
\end{align*} N ρ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ρ 2 = { i d ρ 2 , ρ 2 ρ 2 , ρ 3 ρ 2 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N
(2a), (2b) をまとめると
ρ 2 N = ( 2 a ) N = ( 2 b ) N ρ 2 \begin{align*}
\rho_2N\hspace{-2pt}\underset{(2a)}{=}\hspace{-2pt}N\hspace{-2pt}\underset{(2b)}{=}\hspace{-2pt}N\rho_2
\end{align*} ρ 2 N ( 2 a ) = N ( 2 b ) = N ρ 2
となり、ρ 2 N \rho_2N ρ 2 N N ρ 2 N\rho_2 N ρ 2 N N N
ρ 2 N = N ρ 2 = N N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\rho_2N=N\rho_2=N & \hspace{31pt}\overline{N}\hspace{31pt}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} ρ 2 N = N ρ 2 = N i d ρ 2 ρ 3 N τ 1 τ 2 τ 3
(3a) 左から ρ 3 \rho_3 ρ 3
ρ 3 N = ρ 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { ρ 3 i d , ρ 3 ρ 2 , ρ 3 ρ 3 } = { ρ 3 , i d , ρ 2 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N \begin{align*}
\rho_3N&=\rho_3\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{\rho_3id, \rho_3\rho_2, \rho_3\rho_3\}\\
&=\{\rho_3, id, \rho_2\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=N
\end{align*} ρ 3 N = ρ 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { ρ 3 i d , ρ 3 ρ 2 , ρ 3 ρ 3 } = { ρ 3 , i d , ρ 2 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N
(3b) 右から ρ 3 \rho_3 ρ 3
N ρ 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ρ 3 = { i d ρ 3 , ρ 2 ρ 3 , ρ 2 ρ 3 } = { ρ 3 , i d , ρ 2 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N \begin{align*}
N\rho_3&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\rho_3\\
&=\{id\rho_3, \rho_2\rho_3, \rho_2\rho_3\}\\
&=\{\rho_3, id, \rho_2\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=N
\end{align*} N ρ 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ρ 3 = { i d ρ 3 , ρ 2 ρ 3 , ρ 2 ρ 3 } = { ρ 3 , i d , ρ 2 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = N
(3a), (3b) をまとめると
ρ 3 N = ( 3 a ) N = ( 3 b ) N ρ 3 \begin{align*}
\rho_3N\hspace{-2pt}\underset{(3a)}{=}\hspace{-2pt}N\hspace{-2pt}\underset{(3b)}{=}\hspace{-2pt}N\rho_3
\end{align*} ρ 3 N ( 3 a ) = N ( 3 b ) = N ρ 3
となり、ρ 3 N \rho_3N ρ 3 N N ρ 3 N\rho_3 N ρ 3 N N N
ρ 3 N = N ρ 3 = N N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\rho_3N=N\rho_3=N & \hspace{31pt}\overline{N}\hspace{31pt}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} ρ 3 N = N ρ 3 = N i d ρ 2 ρ 3 N τ 1 τ 2 τ 3
(4a) 左から τ 1 \tau_1 τ 1
τ 1 N = τ 1 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { τ 1 i d , τ 1 ρ 2 , τ 1 ρ 3 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N ‾ \begin{align*}
\tau_1N&=\tau_1\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{\tau_1id, \tau_1\rho_2, \tau_1\rho_3\}\\
&=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\overline{N}
\end{align*} τ 1 N = τ 1 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { τ 1 i d , τ 1 ρ 2 , τ 1 ρ 3 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N
より、結果は N N N N ‾ \overline{N} N N ‾ \overline{N} N S 3 S_3 S 3 N N N
(4b) 右から τ 1 \tau_1 τ 1
N τ 1 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 1 = { i d τ 1 , ρ 2 τ 1 , ρ 3 τ 1 } = { τ 1 , τ 3 , τ 2 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N ‾ \begin{align*}
N\tau_1&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\tau_1\\
&=\{id\tau_1, \rho_2\tau_1, \rho_3\tau_1\}\\
&=\{\tau_1, \tau_3, \tau_2\}\\
&=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\overline{N}
\end{align*} N τ 1 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 1 = { i d τ 1 , ρ 2 τ 1 , ρ 3 τ 1 } = { τ 1 , τ 3 , τ 2 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N
(4a), (4b) をまとめると
τ 1 N = ( 4 a ) N ‾ = ( 4 b ) N τ 1 \begin{align*}
\tau_1N\hspace{-2pt}\underset{(4a)}{=}\hspace{-2pt}{\overline{N}}\hspace{-2pt}\underset{(4b)}{=}\hspace{-2pt}N\tau_1
\end{align*} τ 1 N ( 4 a ) = N ( 4 b ) = N τ 1
となり、τ 1 N \tau_1N τ 1 N N τ 1 N\tau_1 N τ 1 N N N N ‾ \overline{N} N N N N N ‾ \overline{N} N
N τ 1 N = N τ 1 = N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\hspace{31pt}N\hspace{31pt} & \tau_1N=N\tau_1=\overline{N}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} N i d ρ 2 ρ 3 τ 1 N = N τ 1 = N τ 1 τ 2 τ 3
(5a) 左から τ 2 \tau_2 τ 2
τ 2 N = τ 2 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { τ 2 i d , τ 2 ρ 2 , τ 2 ρ 3 } = { τ 2 , τ 3 , τ 1 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N ‾ \begin{align*}
\tau_2N&=\tau_2\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{\tau_2id, \tau_2\rho_2, \tau_2\rho_3\}\\
&=\{\tau_2, \tau_3, \tau_1\}\\
&=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\overline{N}
\end{align*} τ 2 N = τ 2 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { τ 2 i d , τ 2 ρ 2 , τ 2 ρ 3 } = { τ 2 , τ 3 , τ 1 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N
(5b) 右から τ 2 \tau_2 τ 2
N τ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 2 = { i d τ 2 , ρ 2 τ 2 , ρ 3 τ 2 } = { τ 2 , τ 1 , τ 3 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N ‾ \begin{align*}
N\tau_2&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\tau_2\\
&=\{id\tau_2, \rho_2\tau_2, \rho_3\tau_2\}\\
&=\{\tau_2, \tau_1, \tau_3\}\\
&=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\overline{N}
\end{align*} N τ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 2 = { i d τ 2 , ρ 2 τ 2 , ρ 3 τ 2 } = { τ 2 , τ 1 , τ 3 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N
(5a), (5b) をまとめると
τ 2 N = ( 5 a ) N ‾ = ( 5 b ) N τ 2 \begin{align*}
\tau_2N\hspace{-2pt}\underset{(5a)}{=}\hspace{-2pt}{\overline{N}}\hspace{-2pt}\underset{(5b)}{=}\hspace{-2pt}N\tau_2
\end{align*} τ 2 N ( 5 a ) = N ( 5 b ) = N τ 2
となり、τ 2 N \tau_2N τ 2 N N τ 2 N\tau_2 N τ 2 N N N N ‾ \overline{N} N
N τ 2 N = N τ 2 = N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\hspace{31pt}N\hspace{31pt} & \tau_2N=N\tau_2=\overline{N}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} N i d ρ 2 ρ 3 τ 2 N = N τ 2 = N τ 1 τ 2 τ 3
(6a) 左から τ 3 \tau_3 τ 3
τ 3 N = τ 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { τ 3 i d , τ 3 ρ 2 , τ 3 ρ 3 } = { τ 3 , τ 1 , τ 2 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N ‾ \begin{align*}
\tau_3N&=\tau_3\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
&=\{\tau_3id, \tau_3\rho_2, \tau_3\rho_3\}\\
&=\{\tau_3, \tau_1, \tau_2\}\\
&=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\overline{N}
\end{align*} τ 3 N = τ 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = { τ 3 i d , τ 3 ρ 2 , τ 3 ρ 3 } = { τ 3 , τ 1 , τ 2 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N
(6b) 右から τ 3 \tau_3 τ 3
N τ 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 3 = { i d τ 3 , ρ 2 τ 3 , ρ 3 τ 3 } = { τ 3 , τ 2 , τ 1 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N ‾ \begin{align*}
N\tau_3&=\{id, \rho_2, \rho_3\}\tau_3\\
&=\{id\tau_3, \rho_2\tau_3, \rho_3\tau_3\}\\
&=\{\tau_3, \tau_2, \tau_1\}\\
&=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\overline{N}
\end{align*} N τ 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 3 = { i d τ 3 , ρ 2 τ 3 , ρ 3 τ 3 } = { τ 3 , τ 2 , τ 1 } = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } = N
(6a), (6b) をまとめると
τ 3 N = ( 6 a ) N ‾ = ( 6 b ) N τ 3 \begin{align*}
\tau_3N\hspace{-2pt}\underset{(6a)}{=}\hspace{-2pt}{\overline{N}}\hspace{-2pt}\underset{(6b)}{=}\hspace{-2pt}N\tau_3
\end{align*} τ 3 N ( 6 a ) = N ( 6 b ) = N τ 3
となり、τ 3 N \tau_3N τ 3 N N τ 3 N\tau_3 N τ 3 N N N N ‾ \overline{N} N
N τ 3 N = N τ 3 = N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\hspace{31pt}N\hspace{31pt} & \tau_3N=N\tau_3=\overline{N}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} N i d ρ 2 ρ 3 τ 3 N = N τ 3 = N τ 1 τ 2 τ 3
以上の結果を列挙すると、次にようになります。
( 1 a ) , ( 1 b ) より i d N = N i d = N ( 2 a ) , ( 2 b ) より ρ 2 N = N ρ 2 = N ( 3 a ) , ( 3 b ) より ρ 3 N = N ρ 3 = N ( 4 a ) , ( 4 b ) より τ 1 N = N τ 1 = N ‾ ( 5 a ) , ( 5 b ) より τ 2 N = N τ 2 = N ‾ ( 6 a ) , ( 6 b ) より τ 3 N = N τ 3 = N ‾ \begin{alignat*}{3}
&(1a), (1b) より idN & &=Nid& &=N\\
&(2a), (2b) より \rho_2N & &=N\rho_2& &=N\\
&(3a), (3b) より \rho_3N & &=N\rho_3& &=N\\
&(4a), (4b) より \tau_1N & &=N\tau_1& &=\overline{N}\\
&(5a), (5b) より \tau_2N & &=N\tau_2& &=\overline{N}\\
&(6a), (6b) より \tau_3N & &=N\tau_3& &=\overline{N}
\end{alignat*} ( 1 a ) , ( 1 b ) より i d N ( 2 a ) , ( 2 b ) より ρ 2 N ( 3 a ) , ( 3 b ) より ρ 3 N ( 4 a ) , ( 4 b ) より τ 1 N ( 5 a ) , ( 5 b ) より τ 2 N ( 6 a ) , ( 6 b ) より τ 3 N = N i d = N ρ 2 = N ρ 3 = N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 = N = N = N = N = N = N
図にすると
i d N = N i d = N τ 1 N = N τ 1 = N ‾ ρ 2 N = N ρ 2 = N τ 2 N = N τ 2 = N ‾ ρ 3 N = N ρ 3 = N τ 3 N = N τ 3 = N ‾ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
idN=Nid=N & \tau_1N=N\tau_1=\overline{N}\\
\rho_2N=N\rho_2=N & \tau_2N=N\tau_2=\overline{N}\\
\rho_3N=N\rho_3=N & \tau_3N=N\tau_3=\overline{N}\\\hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} i d N = N i d = N ρ 2 N = N ρ 2 = N ρ 3 N = N ρ 3 = N i d ρ 2 ρ 3 τ 1 N = N τ 1 = N τ 2 N = N τ 2 = N τ 3 N = N τ 3 = N τ 1 τ 2 τ 3
このことから、次のような関係 (1)～(3) が見てとれます。
(1) 左剰余類による類別 これまで計算してきた
i d N , ρ 2 N , ρ 3 N , τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N \begin{align*}
idN, \rho_2N, \rho_3N, \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N
\end{align*} i d N , ρ 2 N , ρ 3 N , τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N
のそれぞれを、N N N 左剰余類 』といいます。左から要素を作用させているので、”左”剰余類といいます。i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3
i d N , ρ 2 N , ρ 3 N \begin{align*}
idN, \rho_2N, \rho_3N
\end{align*} i d N , ρ 2 N , ρ 3 N
は、すべて N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
i d N = ρ 2 N = ρ 3 N = N \begin{align*}
idN=\rho_2N=\rho_3N=N
\end{align*} i d N = ρ 2 N = ρ 3 N = N
一方、(4a), (5a), (6a) より、τ 1 , τ 2 , τ 3 \tau_1, \tau_2, \tau_3 τ 1 , τ 2 , τ 3
τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N \begin{align*}
\tau_1N, \tau_2N, \tau_3N
\end{align*} τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N
は、すべて N ‾ = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \overline{N}=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N = N ‾ \begin{align*}
\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N=\overline{N}
\end{align*} τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N = N
これにより、群 S 3 S_3 S 3 i d N = ρ 2 N = ρ 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } idN=\rho_2N=\rho_3N=\{id, \rho_2, \rho_3\} i d N = ρ 2 N = ρ 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
i d N = ρ 2 N = ρ 3 N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N のグループ のグループ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
idN=\rho_2N=\rho_3N & \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N\\
のグループ & のグループ\\ \hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} i d N = ρ 2 N = ρ 3 N のグループ i d ρ 2 ρ 3 τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N のグループ τ 1 τ 2 τ 3
このように、左剰余類によっていくつかの異なるグループに分けることを『左剰余類による類別 』といいます（注１） 。
＜左剰余類による類別＞
代表元について なお、左剰余類の要素（元）を１つ選んで代表元 とすることができます。i d N idN i d N i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3 i d N idN i d N i d id i d i d N idN i d N ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 2 N \rho_2N ρ 2 N ρ 3 \rho_3 ρ 3 ρ 3 N \rho_3N ρ 3 N τ 1 N \tau_1N τ 1 N τ 1 \tau_1 τ 1 τ 1 N \tau_1N τ 1 N τ 2 \tau_2 τ 2 τ 2 N \tau_2N τ 2 N τ 3 \tau_3 τ 3 τ 3 N \tau_3N τ 3 N
i d N , ρ 2 N , ρ 3 N idN, \rho_2N, \rho_3N i d N , ρ 2 N , ρ 3 N τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N
(2) 右剰余類による類別 これまで計算してきた
N i d , N ρ 2 , N ρ 3 , N τ 1 , N τ 2 , N τ 3 \begin{align*}
Nid, N\rho_2, N\rho_3, N\tau_1, N\tau_2, N\tau_3
\end{align*} N i d , N ρ 2 , N ρ 3 , N τ 1 , N τ 2 , N τ 3
のそれぞれを、N N N 右剰余類 』といいます。右から要素を作用させているので、”右”剰余類といいます。i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3
N i d , N ρ 2 , N ρ 3 \begin{align*}
Nid, N\rho_2, N\rho_3
\end{align*} N i d , N ρ 2 , N ρ 3
は、すべて N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
N i d = N ρ 2 = N ρ 3 = N \begin{align*}
Nid=N\rho_2=N\rho_3=N
\end{align*} N i d = N ρ 2 = N ρ 3 = N
一方、(4b), (5b), (6b) より、τ 1 , τ 2 , τ 3 \tau_1, \tau_2, \tau_3 τ 1 , τ 2 , τ 3
N τ 1 , N τ 2 , N τ 3 \begin{align*}
N\tau_1, N\tau_2, N\tau_3
\end{align*} N τ 1 , N τ 2 , N τ 3
は、すべて N ‾ = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \overline{N}=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 = N ‾ \begin{align*}
N\tau_1=N\tau_2=N\tau_3=\overline{N}
\end{align*} N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 = N
これにより、群 S 3 S_3 S 3 N i d = N ρ 2 = N ρ 3 Nid=N\rho_2=N\rho_3 N i d = N ρ 2 = N ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 N\tau_1=N\tau_2=N\tau_3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3
N i d = N ρ 2 = N ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 のグループ のグループ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
Nid=N\rho_2=N\rho_3 & N\tau_1=N\tau_2=N\tau_3\\
のグループ & のグループ\\ \hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} N i d = N ρ 2 = N ρ 3 のグループ i d ρ 2 ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 のグループ τ 1 τ 2 τ 3
このように、右剰余類によっていくつかの異なるグループに分けることを『右剰余類による類別 』といいます。
＜右剰余類による類別＞
右剰余類においても、要素（元）を１つ選んで代表元 とすることができます。同じ右剰余類 N i d Nid N i d i d id i d N i d Nid N i d ρ 2 \rho_2 ρ 2 N ρ 2 N\rho_2 N ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3 N ρ 3 N\rho_3 N ρ 3 N τ 1 N\tau_1 N τ 1 τ 1 \tau_1 τ 1 N τ 1 N\tau_1 N τ 1 τ 2 \tau_2 τ 2 N τ 2 N\tau_2 N τ 2 τ 3 \tau_3 τ 3 N τ 3 N\tau_3 N τ 3
ここまでは左剰余類と右剰余類を個別にみてきましたが、次に左剰余類と右剰余類の関係性をみていきましょう。両者には次のような関係があります。
(3) 左剰余類による類別と右剰余類による類別は等しい (1) より、S 3 S_3 S 3
i d N = ρ 2 N = ρ 3 N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N のグループ のグループ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
idN=\rho_2N=\rho_3N & \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N\\
のグループ & のグループ\\ \hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} i d N = ρ 2 N = ρ 3 N のグループ i d ρ 2 ρ 3 τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N のグループ τ 1 τ 2 τ 3
また (2) より、S 3 S_3 S 3
N i d = N ρ 2 = N ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 のグループ のグループ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
Nid=N\rho_2=N\rho_3 & N\tau_1=N\tau_2=N\tau_3\\
のグループ & のグループ\\ \hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} N i d = N ρ 2 = N ρ 3 のグループ i d ρ 2 ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 のグループ τ 1 τ 2 τ 3
ここで (1a) ～ (6b) より、S 3 S_3 S 3
等しい ↓ 左剰余類 ↓ = 右剰余類 ↓ ( 1 a ) , ( 1 b ) より i d N = N i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ( 2 a ) , ( 2 b ) より ρ 2 N = N ρ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ( 3 a ) , ( 3 b ) より ρ 3 N = N ρ 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } } ( ∗ 3 ) ( 4 a ) , ( 4 b ) より τ 1 N = N τ 1 = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } ( 5 a ) , ( 5 b ) より τ 2 N = N τ 2 = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } ( 6 a ) , ( 6 b ) より τ 3 N = N τ 3 = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } } ( ∗ 4 ) \hspace{-18pt}{\footnotesize \underset{\downarrow}{等しい}}\\
\\[-4pt]
\hspace{-18pt}\underset{\hspace{9pt}\downarrow}{{\footnotesize 左剰余類}}\hspace{-2pt}=\hspace{-2pt}\underset{\downarrow\hspace{8pt}}{{\footnotesize 右剰余類}}\\
\begin{rcases}
(1a), (1b) より idN=Nid\hspace{1pt}=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
(2a), (2b) より \rho_2N=N\rho_2=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
(3a), (3b) より \rho_3N=N\rho_3=\{id, \rho_2, \rho_3\}\\
\end{rcases}
(*3)
\\[5pt]
\begin{rcases}
(4a), (4b) より \tau_1N=N\tau_1=\,\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
(5a), (5b) より \tau_2N=N\tau_2=\,\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
(6a), (6b) より \tau_3N=N\tau_3=\,\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}\,
\end{rcases}
(*4) ↓ 等しい ↓ 左剰余類 = ↓ 右剰余類 ( 1 a ) , ( 1 b ) より i d N = N i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ( 2 a ) , ( 2 b ) より ρ 2 N = N ρ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ( 3 a ) , ( 3 b ) より ρ 3 N = N ρ 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ⎭ ⎬ ⎫ ( ∗ 3 ) ( 4 a ) , ( 4 b ) より τ 1 N = N τ 1 = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } ( 5 a ) , ( 5 b ) より τ 2 N = N τ 2 = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } ( 6 a ) , ( 6 b ) より τ 3 N = N τ 3 = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } ⎭ ⎬ ⎫ ( ∗ 4 )
( ∗ 3 ) (*3) ( ∗ 3 ) N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 ) N ‾ = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \overline{N}=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 }
図にすると
i d N = ρ 2 N = ρ 3 N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N のグループ のグループ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 ↕ ( ∗ 3 ) より等しい ↕ ( ∗ 4 ) より等しい N i d = N ρ 2 = N ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 のグループ のグループ i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
idN=\rho_2N=\rho_3N & \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N\\
のグループ & のグループ\\ \hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array}\\[5pt]
\hspace{64pt}\updownarrow {\small (*3) より等しい}\hspace{18pt}\updownarrow {\small (*4) より等しい}\\[5pt]
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
Nid=N\rho_2=N\rho_3 & N\tau_1=N\tau_2=N\tau_3\\
のグループ & のグループ\\ \hline\hline
id & \tau_1\\
\rho_2 & \tau_2\\
\rho_3 & \tau_3\\ \hline
\end{array} i d N = ρ 2 N = ρ 3 N のグループ i d ρ 2 ρ 3 τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N のグループ τ 1 τ 2 τ 3 ↕ ( ∗ 3 ) より等しい ↕ ( ∗ 4 ) より等しい N i d = N ρ 2 = N ρ 3 のグループ i d ρ 2 ρ 3 N τ 1 = N τ 2 = N τ 3 のグループ τ 1 τ 2 τ 3
以上のことから、「左剰余類による類別と右剰余類による類別は等しくなる 」ことが分かります（下図）。
＜左剰余類による類別＞
⇕ \hspace{80pt}\Updownarrow ⇕ 類別の方法は同じ
＜右剰余類による類別＞
左剰余類による「類別」と右剰余類による「類別」が等しくなる理由は、S 3 S_3 S 3 i d N = N i d idN=Nid i d N = N i d ρ 2 N = N ρ 2 \rho_2N=N\rho_2 ρ 2 N = N ρ 2 ρ 3 N = N ρ 3 \rho_3N=N\rho_3 ρ 3 N = N ρ 3 τ 1 N = N τ 1 \tau_1N=N\tau_1 τ 1 N = N τ 1 τ 2 N = N τ 2 \tau_2N=N\tau_2 τ 2 N = N τ 2 τ 3 N = N τ 3 \tau_3N=N\tau_3 τ 3 N = N τ 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } 正規部分群 』といいます。N N N N N N
正規部分群の定義を、大学の教科書にあるように正確に書くと次のようになります。
正規部分群の定義 N N N G G G G G G g g g
g N = N g \begin{align*}
gN=Ng
\end{align*} g N = N g
を満たすとき、N N N G G G 正規部分群 』という。
＊＊＊
g N = N g gN=Ng g N = N g G G G g g g g N gN g N N g Ng N g
g N 左剰余類 = N g 右剰余類 ↑ 集合の要素が同じ \begin{gather*}
\underset{左剰余類}{gN}\hspace{-5pt}=\hspace{-5pt}\underset{右剰余類}{Ng}\\[-3pt]
\hspace{1pt}\uparrow\\[-5pt]
\hspace{1pt}{\footnotesize 集合の要素が同じ}
\end{gather*} 左剰余類 g N = 右剰余類 N g ↑ 集合の要素が同じ
一般に、ある部分群が正規部分群のとき、その部分群による「左剰余類による類別」と「右剰余類による類別」は等しくなることが知られています。また逆に、ある部分群による「左剰余類による類別」と「右剰余類による類別」が等しいとき、その部分群は正規部分群であることも知られています（証明は割愛）。
正規部分群 ⇄ 「左剰余類による類別」と「右剰余類による類別」 は等しい ⋯ ( ∗ 5 ) \begin{align*}
&正規部分群\\
\rightleftarrows &「左剰余類による類別」と「右剰余類による類別」\\
&は等しい \cdots (*5)
\end{align*} ⇄ 正規部分群 「左剰余類による類別」と「右剰余類による類別」 は等しい ⋯ ( ∗ 5 )
なお、左剰余類（という集合）と右剰余類（という集合）は、N N N N N N
（追記） ガロアによれば、上記の ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 ) ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 )
（追記終わり）
正規部分群の定義をイメージしやすくするために、正規部分群N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } g = i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 g=id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3 g = i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3
g = i d のとき i d N = N i d g = ρ 2 のとき ρ 2 N = N ρ 2 g = ρ 3 のとき ρ 3 N = N ρ 3 g = τ 1 のとき τ 1 N = N τ 1 g = τ 2 のとき τ 2 N = N τ 2 g = τ 3 のとき τ 3 N = N τ 3 \begin{alignat*}{3}
&g=id & &のとき &idN&=Nid\\
&g=\rho_2 & &のとき &\rho_2N&=N\rho_2\\
&g=\rho_3 & &のとき &\rho_3N&=N\rho_3\\
&g=\tau_1 & &のとき &\tau_1N&=N\tau_1\\
&g=\tau_2 & &のとき &\tau_2N&=N\tau_2\\
&g=\tau_3 & &のとき &\tau_3N&=N\tau_3
\end{alignat*} g = i d g = ρ 2 g = ρ 3 g = τ 1 g = τ 2 g = τ 3 のとき のとき のとき のとき のとき のとき i d N ρ 2 N ρ 3 N τ 1 N τ 2 N τ 3 N = N i d = N ρ 2 = N ρ 3 = N τ 1 = N τ 2 = N τ 3
のすべてが成り立つので、先ほどの正規部分群の定義より、N N N S 3 S_3 S 3
なお、部分群のすべてが正規部分群にはならないことを注意しておきます。群 S 3 S_3 S 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 \{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}=S_3 { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = A 3 \{id, \rho_2, \rho_3\}=A_3 { i d , ρ 2 , ρ 3 } = A 3 { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 } { i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 } { i d } \{id\} { i d } { i d , ρ 2 , ρ 3 } \{id, \rho_2, \rho_3\} { i d , ρ 2 , ρ 3 } S 3 S_3 S 3 { i d } \{id\} { i d } （注２） 。この自分自身や、要素が単位元だけからなる正規部分群を『自明な正規部分群 』といいます。
正規部分群にならない例 次に、{ i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 } N N N S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } g = i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 g=id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3 g = i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 M M M g g g
g M = M g \begin{align*}
gM=Mg
\end{align*} g M = M g
が成り立てば、M M M
(1a) 左から i d id i d
i d M = i d { i d , τ 1 } = { i d i d , i d τ 1 } = { i d , τ 1 } \begin{align*}
idM&=id\{id, \tau_1\}\\
&=\{idid, id\tau_1\}\\
&=\{id, \tau_1\}
\end{align*} i d M = i d { i d , τ 1 } = { i d i d , i d τ 1 } = { i d , τ 1 }
(1b) 右から i d id i d
M i d = { i d , τ 1 } i d = { i d i d , τ 1 i d } = { i d , τ 1 } \begin{align*}
Mid&=\{id, \tau_1\}id\\
&=\{idid, \tau_1id\}\\
&=\{id, \tau_1\}
\end{align*} M i d = { i d , τ 1 } i d = { i d i d , τ 1 i d } = { i d , τ 1 }
(1a), (1b) より
i d M = M i d \begin{align*}
idM=Mid
\end{align*} i d M = M i d
となり、i d id i d
i d M = M i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 2 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|cc|}\hline
idM=Mid & \hspace{30pt} & \hspace{30pt}\\ \hline\hline
id & \rho_2 & \rho_3\\
\tau_1 & \tau_2 & \tau_2\\ \hline
\end{array} i d M = M i d i d τ 1 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 2
しかし
(2a) 左から ρ 2 \rho_2 ρ 2
ρ 2 M = ρ 2 { i d , τ 1 } = { ρ 2 i d , ρ 2 τ 1 } = { ρ 2 , τ 3 ‾ } \begin{align*}
\rho_2M&=\rho_2\{id, \tau_1\}\\
&=\{\rho_2id, \rho_2\tau_1\}\\
&=\{\rho_2, \underline{\tau_3}\}
\end{align*} ρ 2 M = ρ 2 { i d , τ 1 } = { ρ 2 i d , ρ 2 τ 1 } = { ρ 2 , τ 3 }
(2b) 右から ρ 2 \rho_2 ρ 2
M ρ 2 = { i d , τ 1 } ρ 2 = { i d ρ 2 , τ 1 ρ 2 } = { ρ 2 , τ 2 ‾ } \begin{align*}
M\rho_2&=\{id, \tau_1\}\rho_2\\
&=\{id\rho_2, \tau_1\rho_2\}\\
&=\{\rho_2, \underline{\tau_2}\}
\end{align*} M ρ 2 = { i d , τ 1 } ρ 2 = { i d ρ 2 , τ 1 ρ 2 } = { ρ 2 , τ 2 }
(2a), (2b) より、τ 2 \tau_2 τ 2 τ 3 \tau_3 τ 3
ρ 2 M ≠ M ρ 2 \begin{align*}
\rho_2M\ne M\rho_2
\end{align*} ρ 2 M = M ρ 2
図にすると
i d M = M i d ρ 2 M i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 3 τ 2 ↕ 左剰余類と右剰余類は異なる i d M = M i d M ρ 2 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
idM=Mid & \hspace{18pt}\rho_2M\hspace{18pt} & \hspace{52pt}\\ \hline\hline
id & \rho_2 & \rho_3\\
\tau_1 & \tau_3 & \tau_2\\ \hline
\end{array}\\[2pt]
\hspace{122pt}\updownarrow {\small 左剰余類と右剰余類は異なる}\\[2pt]
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
idM=Mid & \hspace{18pt}M\rho_2\hspace{18pt} & \hspace{52pt}\\ \hline\hline
id & \rho_2 & \rho_3\\
\tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\end{array} i d M = M i d i d τ 1 ρ 2 M ρ 2 τ 3 ρ 3 τ 2 ↕ 左剰余類と右剰余類は異なる i d M = M i d i d τ 1 M ρ 2 ρ 2 τ 2 ρ 3 τ 3
１つでも成り立たないケースがあれば正規部分群ではないので、これで M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 }
同様の理由で { i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 } { i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 }
{ i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } \{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } { i d , ρ 2 , ρ 3 } \{id, \rho_2, \rho_3\} { i d , ρ 2 , ρ 3 } { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 } { i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 } { i d } \{id\} { i d }
正規部分群でない場合の類別 ここで、先ほどの M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 } M M M
まず、以下の (1a)～(2b) は本文ですでにやりました。
(1a) 左から i d id i d
i d M = i d { i d , τ 1 } = { i d i d , i d τ 1 } = { i d , τ 1 } \begin{align*}
idM&=id\{id, \tau_1\}\\
&=\{idid, id\tau_1\}\\
&=\{id, \tau_1\}
\end{align*} i d M = i d { i d , τ 1 } = { i d i d , i d τ 1 } = { i d , τ 1 }
(1b) 右から i d id i d
M i d = { i d , τ 1 } i d = { i d i d , τ 1 i d } = { i d , τ 1 } \begin{align*}
Mid&=\{id, \tau_1\}id\\
&=\{idid, \tau_1id\}\\
&=\{id, \tau_1\}
\end{align*} M i d = { i d , τ 1 } i d = { i d i d , τ 1 i d } = { i d , τ 1 }
(1a), (1b) より
i d M = M i d \begin{align*}
idM=Mid
\end{align*} i d M = M i d
(2a) 左から ρ 2 \rho_2 ρ 2
ρ 2 M = ρ 2 { i d , τ 1 } = { ρ 2 i d , ρ 2 τ 1 } = { ρ 2 , τ 3 ‾ } \begin{align*}
\rho_2M&=\rho_2\{id, \tau_1\}\\
&=\{\rho_2id, \rho_2\tau_1\}\\
&=\{\rho_2, \underline{\tau_3}\}
\end{align*} ρ 2 M = ρ 2 { i d , τ 1 } = { ρ 2 i d , ρ 2 τ 1 } = { ρ 2 , τ 3 }
(2b) 右から ρ 2 \rho_2 ρ 2
M ρ 2 = { i d , τ 1 } ρ 2 = { i d ρ 2 , τ 1 ρ 2 } = { ρ 2 , τ 2 ‾ } \begin{align*}
M\rho_2&=\{id, \tau_1\}\rho_2\\
&=\{id\rho_2, \tau_1\rho_2\}\\
&=\{\rho_2, \underline{\tau_2}\}
\end{align*} M ρ 2 = { i d , τ 1 } ρ 2 = { i d ρ 2 , τ 1 ρ 2 } = { ρ 2 , τ 2 }
(2a), (2b) より、τ 2 \tau_2 τ 2 τ 3 \tau_3 τ 3
ρ 2 M ≠ M ρ 2 \begin{align*}
\rho_2M\ne M\rho_2
\end{align*} ρ 2 M = M ρ 2
１つでも成り立たないケースがあれば正規部分群にはならないので、M M M S 3 S_3 S 3
(3a) 左から ρ 3 \rho_3 ρ 3
ρ 3 M = ρ 3 { i d , τ 1 } = { ρ 3 i d , ρ 3 τ 1 } = { ρ 3 , τ 2 } \begin{align*}
\rho_3M&=\rho_3\{id, \tau_1\}\\
&=\{\rho_3id, \rho_3\tau_1\}\\
&=\{\rho_3, \tau_2\}
\end{align*} ρ 3 M = ρ 3 { i d , τ 1 } = { ρ 3 i d , ρ 3 τ 1 } = { ρ 3 , τ 2 }
(3b) 右から ρ 3 \rho_3 ρ 3
M ρ 3 = { i d , τ 1 } ρ 3 = { i d ρ 3 , τ 1 ρ 3 } = { ρ 3 , τ 3 } \begin{align*}
M\rho_3&=\{id, \tau_1\}\rho_3\\
&=\{id\rho_3, \tau_1\rho_3\}\\
&=\{\rho_3, \tau_3\}
\end{align*} M ρ 3 = { i d , τ 1 } ρ 3 = { i d ρ 3 , τ 1 ρ 3 } = { ρ 3 , τ 3 }
(3a), (3b) より、τ 2 \tau_2 τ 2 τ 3 \tau_3 τ 3
ρ 3 M ≠ M ρ 3 \begin{align*}
\rho_3M\ne M\rho_3
\end{align*} ρ 3 M = M ρ 3
(4a) 左から τ 1 \tau_1 τ 1
τ 1 M = τ 1 { i d , τ 1 } = { τ 1 i d , τ 1 τ 1 } = { τ 1 , i d } = { i d , τ 1 } \begin{align*}
\tau_1M&=\tau_1\{id, \tau_1\}\\
&=\{\tau_1id, \tau_1\tau_1\}\\
&=\{\tau_1, id\}\\
&=\{id, \tau_1\}
\end{align*} τ 1 M = τ 1 { i d , τ 1 } = { τ 1 i d , τ 1 τ 1 } = { τ 1 , i d } = { i d , τ 1 }
(4b) 右から τ 1 \tau_1 τ 1
M τ 1 = { i d , τ 1 } τ 1 = { i d τ 1 , τ 1 τ 1 } = { τ 1 i d } = { i d , τ 1 } \begin{align*}
M\tau_1&=\{id, \tau_1\}\tau_1\\
&=\{id\tau_1, \tau_1\tau_1\}\\
&=\{\tau_1 id\}\\
&=\{id, \tau_1\}
\end{align*} M τ 1 = { i d , τ 1 } τ 1 = { i d τ 1 , τ 1 τ 1 } = { τ 1 i d } = { i d , τ 1 }
(4a), (4b) より
ρ 3 M = M ρ 3 \begin{align*}
\rho_3M=M\rho_3
\end{align*} ρ 3 M = M ρ 3
(5a) 左から τ 2 \tau_2 τ 2
τ 2 M = τ 2 { i d , τ 1 } = { τ 2 i d , τ 2 τ 1 } = { τ 2 , ρ 3 } = { ρ 3 , τ 2 } \begin{align*}
\tau_2M&=\tau_2\{id, \tau_1\}\\
&=\{\tau_2id, \tau_2\tau_1\}\\
&=\{\tau_2, \rho_3\}\\
&=\{\rho_3, \tau_2\}
\end{align*} τ 2 M = τ 2 { i d , τ 1 } = { τ 2 i d , τ 2 τ 1 } = { τ 2 , ρ 3 } = { ρ 3 , τ 2 }
(5b) 右から τ 2 \tau_2 τ 2
M τ 2 = { i d , τ 1 } τ 2 = { i d τ 2 , τ 1 τ 2 } = { τ 2 , ρ 2 } = { ρ 2 , τ 2 } \begin{align*}
M\tau_2&=\{id, \tau_1\}\tau_2\\
&=\{id\tau_2, \tau_1\tau_2\}\\
&=\{\tau_2, \rho_2\}\\
&=\{\rho_2, \tau_2\}
\end{align*} M τ 2 = { i d , τ 1 } τ 2 = { i d τ 2 , τ 1 τ 2 } = { τ 2 , ρ 2 } = { ρ 2 , τ 2 }
(5a), (5b) より、ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3
τ 2 M ≠ M τ 2 \begin{align*}
\tau_2M\ne M\tau_2
\end{align*} τ 2 M = M τ 2
(6a) 左から τ ３ \tau_３ τ ３
τ 3 M = τ 3 { i d , τ 1 } = { τ 3 i d , τ 3 τ 1 } = { τ 3 , ρ 2 } = { ρ 2 , τ 3 } \begin{align*}
\tau_3M&=\tau_3\{id, \tau_1\}\\
&=\{\tau_3id, \tau_3\tau_1\}\\
&=\{\tau_3, \rho_2\}\\
&=\{\rho_2, \tau_3\}
\end{align*} τ 3 M = τ 3 { i d , τ 1 } = { τ 3 i d , τ 3 τ 1 } = { τ 3 , ρ 2 } = { ρ 2 , τ 3 }
(6b) 右から τ ３ \tau_３ τ ３
M τ 3 = { i d , τ 1 } τ 3 = { i d τ 3 , τ 1 τ 3 } = { τ 3 , ρ 3 } = { ρ 3 , τ 3 } \begin{align*}
M\tau_3&=\{id, \tau_1\}\tau_3\\
&=\{id\tau_3, \tau_1\tau_3\}\\
&=\{\tau_3, \rho_3\}\\
&=\{\rho_3, \tau_3\}
\end{align*} M τ 3 = { i d , τ 1 } τ 3 = { i d τ 3 , τ 1 τ 3 } = { τ 3 , ρ 3 } = { ρ 3 , τ 3 }
(6a), (6b) より、ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3
τ 3 M ≠ M τ 3 \begin{align*}
\tau_3M\ne M\tau_3
\end{align*} τ 3 M = M τ 3
よって、部分群 M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 } S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 }
g = i d のとき i d M = M i d g = ρ 2 のとき ρ 2 M ≠ M ρ 2 g = ρ 3 のとき ρ 3 M ≠ M ρ 3 g = τ 1 のとき τ 1 M = M τ 1 g = τ 2 のとき τ 2 M ≠ M τ 2 g = τ 3 のとき τ 3 M ≠ M τ 3 \begin{alignat*}{3}
&g=id & &のとき &idM&=Mid\\
&g=\rho_2 & &のとき &\rho_2M&\ne M\rho_2\\
&g=\rho_3 & &のとき &\rho_3M&\ne M\rho_3\\
&g=\tau_1 & &のとき &\tau_1M&=M\tau_1\\
&g=\tau_2 & &のとき &\tau_2M&\ne M\tau_2\\
&g=\tau_3 & &のとき &\tau_3M&\ne M\tau_3
\end{alignat*} g = i d g = ρ 2 g = ρ 3 g = τ 1 g = τ 2 g = τ 3 のとき のとき のとき のとき のとき のとき i d M ρ 2 M ρ 3 M τ 1 M τ 2 M τ 3 M = M i d = M ρ 2 = M ρ 3 = M τ 1 = M τ 2 = M τ 3
次に、剰余類による類別について考察するため、これまでの結果を左剰余類、右剰余類ごとにまとめていきます。
( 1 a ) より i d M = { i d , τ 1 } ( 2 a ) より ρ 2 M = { ρ 2 , τ 3 } ( 3 a ) より ρ 3 M = { ρ 3 , τ 2 } ( 4 a ) より τ 1 M = { i d , τ 1 } ( 5 a ) より τ 2 M = { ρ 3 , τ 2 } ( 6 a ) より τ 3 M = { ρ 2 , τ 3 } \begin{align*}
(1a) より idM&=\{id, \tau_1\}\\
(2a) より \rho_2M&=\{\rho_2, \tau_3\}\\
(3a) より \rho_3M&=\{\rho_3, \tau_2\}\\
(4a) より \tau_1M&=\{id, \tau_1\}\\
(5a) より \tau_2M&=\{\rho_3, \tau_2\}\\
(6a) より \tau_3M&=\{\rho_2, \tau_3\}
\end{align*} ( 1 a ) より i d M ( 2 a ) より ρ 2 M ( 3 a ) より ρ 3 M ( 4 a ) より τ 1 M ( 5 a ) より τ 2 M ( 6 a ) より τ 3 M = { i d , τ 1 } = { ρ 2 , τ 3 } = { ρ 3 , τ 2 } = { i d , τ 1 } = { ρ 3 , τ 2 } = { ρ 2 , τ 3 }
となるので
( 1 a ) , ( 4 a ) より i d M = τ 1 M = { i d , τ 1 } ( 2 a ) , ( 6 a ) より ρ 2 M = τ 3 M = { ρ 2 , τ 3 } ( 3 a ) , ( 5 a ) より ρ 3 M = τ 2 M = { ρ 3 , τ 2 } \begin{align*}
(1a), (4a) より idM&=\tau_1M=\{id, \tau_1\}\\
(2a), (6a) より \rho_2M&=\tau_3M=\{\rho_2, \tau_3\}\\
(3a), (5a) より \rho_3M&=\tau_2M=\{\rho_3, \tau_2\}
\end{align*} ( 1 a ) , ( 4 a ) より i d M ( 2 a ) , ( 6 a ) より ρ 2 M ( 3 a ) , ( 5 a ) より ρ 3 M = τ 1 M = { i d , τ 1 } = τ 3 M = { ρ 2 , τ 3 } = τ 2 M = { ρ 3 , τ 2 }
i d M = τ 1 M ρ 2 M = τ 3 M ρ 3 M = τ 2 M i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 3 τ 2 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
idM=\tau_1M & \rho_2M=\tau_3M & \rho_3M=\tau_2M \\ \hline\hline
id & \rho_2 & \rho_3\\
\tau_1 & \tau_3 & \tau_2\\ \hline
\end{array}\\[2pt] i d M = τ 1 M i d τ 1 ρ 2 M = τ 3 M ρ 2 τ 3 ρ 3 M = τ 2 M ρ 3 τ 2
よって、S 3 S_3 S 3 M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 }
一方、右剰余類の結果を列挙すると
( 1 b ) より M i d = { i d , τ 1 } ( 2 b ) より M ρ 2 = { ρ 2 , τ 2 } ( 3 b ) より M ρ 3 = { ρ 3 , τ 3 } ( 4 b ) より M τ 1 = { i d , τ 1 } ( 5 b ) より M τ 2 = { ρ 2 , τ 2 } ( 6 b ) より M τ 3 = { ρ 3 , τ 3 } \begin{align*}
(1b) より Mid&=\{id, \tau_1\}\\
(2b) より M\rho_2&=\{\rho_2, \tau_2\}\\
(3b) より M\rho_3&=\{\rho_3, \tau_3\}\\
(4b) より M\tau_1&=\{id, \tau_1\}\\
(5b) より M\tau_2&=\{\rho_2, \tau_2\}\\
(6b) より M\tau_3&=\{\rho_3, \tau_3\}
\end{align*} ( 1 b ) より M i d ( 2 b ) より M ρ 2 ( 3 b ) より M ρ 3 ( 4 b ) より M τ 1 ( 5 b ) より M τ 2 ( 6 b ) より M τ 3 = { i d , τ 1 } = { ρ 2 , τ 2 } = { ρ 3 , τ 3 } = { i d , τ 1 } = { ρ 2 , τ 2 } = { ρ 3 , τ 3 }
となるので
( 1 b ) , ( 4 b ) より M i d = M τ 1 = { i d , τ 1 } ( 2 b ) , ( 5 b ) より M ρ 2 = M τ 2 = { ρ 2 , τ 2 } ( 3 b ) , ( 6 b ) より M ρ 3 = M τ 3 = { ρ 3 , τ 3 } \begin{align*}
(1b), (4b) より Mid&=M\tau_1=\{id, \tau_1\}\\
(2b), (5b) より M\rho_2&=M\tau_2=\{\rho_2, \tau_2\}\\
(3b), (6b) より M\rho_3&=M\tau_3=\{\rho_3, \tau_3\}
\end{align*} ( 1 b ) , ( 4 b ) より M i d ( 2 b ) , ( 5 b ) より M ρ 2 ( 3 b ) , ( 6 b ) より M ρ 3 = M τ 1 = { i d , τ 1 } = M τ 2 = { ρ 2 , τ 2 } = M τ 3 = { ρ 3 , τ 3 }
M i d = M τ 1 M ρ 2 = M τ 2 M ρ 3 = M τ 3 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
Mid=M\tau_1 & M\rho_2=M\tau_2 & M\rho_3=M\tau_3 \\ \hline\hline
id & \rho_2 & \rho_3\\
\tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\end{array}\\[2pt] M i d = M τ 1 i d τ 1 M ρ 2 = M τ 2 ρ 2 τ 2 M ρ 3 = M τ 3 ρ 3 τ 3
よって、S 3 S_3 S 3 M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 }
すると、正規部分群ではない部分群 M M M
＜左剰余類による類別＞
⇕ \hspace{98pt}\Updownarrow ⇕ 類別の方法は異なる
＜右剰余類による類別＞
ρ 2 M ≠ M ρ 2 \rho_2M\ne M\rho_2 ρ 2 M = M ρ 2 ρ 3 M ≠ M ρ 3 \rho_3M\ne M\rho_3 ρ 3 M = M ρ 3 M = { i d , τ 1 } M=\{id, \tau_1\} M = { i d , τ 1 } 左剰余類で類別する場合と、右剰余類で類別する場合では、類別する方法は必ず異なります 。左剰余類で類別する場合と、右剰余類で類別する場合では、類別する方法は必ず同じ になります。先にやった正規部分群 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
（再掲）＜左剰余類による類別＞
⇕ \hspace{156pt}\Updownarrow ⇕ 類別の方法は同じ
（まとめ）ガロアによる正規部分群の発見 ガロアは、ある方程式に解の公式が存在するかどうかを知りたい場合は、その方程式の解の入れ替えを表す群（対称群 ）を調べればよいことを発見しました。５次方程式の場合は５次対称群 という群を調べることになります。 この対称群を調べるために、正規部分群 とよばれる部分群を調べます。この正規部分群 の重要性に初めて気付いたのがガロアです。
エヴァリスト・ガロア（1811-1832） なぜ正規部分群なのか？、普通の部分群じゃダメなのか？、そのことついては次の章で詳しく解説していきます。剰余群 ）となるわけです。{ i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N }
同様に、右剰余類にある演算を定義することによって、右剰余類の集合 { N i d , N τ 1 } \{Nid, N\tau_1\} { N i d , N τ 1 }
さらにその剰余類の群は、回転運動とみなせる群（巡回群 ）であることが分かり、方程式側では「累乗根を加えること（添加）」と、群側では「回転を表す群（巡回群）」が１対１で対応します（ガロア対応 ）。これがいえるのは正規部分群のみであって、普通の部分群だとここまで成立しません。
ニールス・アーベル（1802-1829） しかしアーベルはその解の置換に、深遠なる構造までは見出せてはいませんでした。群 』という構造を初めて見いだし、解の公式が存在するかどうかは方程式をみるのではなく、群の構造をみればよい ことをガロアは発見したのです。
（コメント）
（注１）類別の身近な例 類別の身近な例として、奇数と偶数があります。理由は概略だけ記していきます。Z = { ⋯ , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ } \mathbb{Z}=\{\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots\} Z = { ⋯ , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ } { ⋯ , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , ⋯ } \{\cdots, -4, -2, 0, 2, 4, \cdots\} { ⋯ , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , ⋯ } − 4 , − 2 -4, -2 − 4 , − 2 Z \mathbb{Z} Z 2 2 2 4 4 4 4 = 2 × 2 + 0 ‾ 4=2\times2+\underline{0} 4 = 2 × 2 + 0 0 ‾ \underline{0} 0 3 3 3 3 = 2 × 1 + 1 ‾ 3=2\times1+\underline{1} 3 = 2 × 1 + 1 1 ‾ \underline{1} 1 − 4 -4 − 4 − 4 = 2 × ( − 2 ) + 0 ‾ -4=2\times(-2)+\underline{0} − 4 = 2 × ( − 2 ) + 0 0 ‾ \underline{0} 0 − 3 -3 − 3 − 3 = 2 × ( − 2 ) + 1 ‾ -3=2\times(-2)+\underline{1} − 3 = 2 × ( − 2 ) + 1 1 ‾ \underline{1} 1 0 0 0 1 1 1
（注２）自明な正規部分群の証明 ３次対称群 S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S 3 S_3 S 3 { i d } \{id\} { i d }
＜正規部分群の定義＞ N N N G G G G G G g g g
g N = N g \begin{align*}
gN=Ng
\end{align*} g N = N g
を満たすとき、N N N G G G
＊＊＊
S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3 g = i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 g=id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3 g = i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3
g N = N g \begin{align*}
gN=Ng
\end{align*} g N = N g
を満たすことを確認していきます。
(1a) i d id i d
i d S 3 = i d { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = { i d i d , i d ρ 2 , i d ρ 3 , i d τ 1 , i d τ 2 , i d τ 3 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 \begin{align*}
idS_3&=id\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\{idid, id\rho_2, id\rho_3, id\tau_1, id\tau_2, id\tau_3\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=S_3
\end{align*} i d S 3 = i d { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = { i d i d , i d ρ 2 , i d ρ 3 , i d τ 1 , i d τ 2 , i d τ 3 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3
(1b) i d id i d
S 3 i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } i d = { i d i d , ρ 2 i d , ρ 3 i d , τ 1 i d , τ 2 i d , τ 3 i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 \begin{align*}
S_3id&=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}id\\
&=\{idid, \rho_2id, \rho_3id, \tau_1id, \tau_2id, \tau_3id\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=S_3
\end{align*} S 3 i d = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } i d = { i d i d , ρ 2 i d , ρ 3 i d , τ 1 i d , τ 2 i d , τ 3 i d } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3
(1a), (1b) より
i d S 3 = S 3 i d \begin{align*}
idS_3=S_3id
\end{align*} i d S 3 = S 3 i d
(2a) ρ 2 \rho_2 ρ 2
ρ 2 S 3 = ρ 2 { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = { ρ 2 i d , ρ 2 ρ 2 , ρ 2 ρ 3 , ρ 2 τ 1 , ρ 2 τ 2 , ρ 2 τ 3 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d , τ 3 , τ 1 , τ 2 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 \begin{align*}
\rho_2S_3&=\rho_2\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=\{\rho_2id, \rho_2\rho_2, \rho_2\rho_3, \rho_2\tau_1, \rho_2\tau_2, \rho_2\tau_3\}\\
&=\{\rho_2, \rho_3, id, \tau_3, \tau_1, \tau_2\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=S_3
\end{align*} ρ 2 S 3 = ρ 2 { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = { ρ 2 i d , ρ 2 ρ 2 , ρ 2 ρ 3 , ρ 2 τ 1 , ρ 2 τ 2 , ρ 2 τ 3 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d , τ 3 , τ 1 , τ 2 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3
(2b) ρ 2 \rho_2 ρ 2
S 3 ρ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } ρ 2 = { i d ρ 2 , ρ 2 ρ 2 , ρ 3 ρ 2 , τ 1 ρ 2 , τ 2 ρ 2 , τ 3 ρ 2 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d , τ 2 , τ 3 , τ 1 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3 \begin{align*}
S_3\rho_2&=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\rho_2\\
&=\{id\rho_2, \rho_2\rho_2, \rho_3\rho_2, \tau_1\rho_2, \tau_2\rho_2, \tau_3\rho_2\}\\
&=\{\rho_2, \rho_3, id, \tau_2, \tau_3, \tau_1\}\\
&=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}\\
&=S_3
\end{align*} S 3 ρ 2 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } ρ 2 = { i d ρ 2 , ρ 2 ρ 2 , ρ 3 ρ 2 , τ 1 ρ 2 , τ 2 ρ 2 , τ 3 ρ 2 } = { ρ 2 , ρ 3 , i d , τ 2 , τ 3 , τ 1 } = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } = S 3
(2a), (2b) より
ρ 2 S 3 = S 3 ρ 2 \begin{align*}
\rho_2S_3=S_3\rho_2
\end{align*} ρ 2 S 3 = S 3 ρ 2
以下、このように S 3 S_3 S 3
ρ 3 S 3 = S 3 ρ 3 τ 1 S 3 = S 3 τ 1 τ 2 S 3 = S 3 τ 2 τ 3 S 3 = S 3 τ 3 \begin{align*}
\rho_3S_3&=S_3\rho_3\\
\tau_1S_3&=S_3\tau_1\\
\tau_2S_3&=S_3\tau_2\\
\tau_3S_3&=S_3\tau_3\\
\end{align*} ρ 3 S 3 τ 1 S 3 τ 2 S 3 τ 3 S 3 = S 3 ρ 3 = S 3 τ 1 = S 3 τ 2 = S 3 τ 3
は証明できるので、 S 3 S_3 S 3 { i d } \{id\} { i d } S 3 S_3 S 3
i d { i d } = { i d } i d ρ 2 { i d } = { i d } ρ 2 ρ 3 { i d } = { i d } ρ 3 τ 1 { i d } = { i d } τ 1 τ 2 { i d } = { i d } τ 2 τ 3 { i d } = { i d } τ 3 \begin{align*}
id\{id\}&=\{id\}id\\
\rho_2\{id\}&=\{id\}\rho_2\\
\rho_3\{id\}&=\{id\}\rho_3\\
\tau_1\{id\}&=\{id\}\tau_1\\
\tau_2\{id\}&=\{id\}\tau_2\\
\tau_3\{id\}&=\{id\}\tau_3
\end{align*} i d { i d } ρ 2 { i d } ρ 3 { i d } τ 1 { i d } τ 2 { i d } τ 3 { i d } = { i d } i d = { i d } ρ 2 = { i d } ρ 3 = { i d } τ 1 = { i d } τ 2 = { i d } τ 3
は証明できるので、{ i d } \{id\} { i d }
（参考）各章の内容 （１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出1 1 1 ω \omega ω アーベルの証明 」の準備）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。⟶ \longrightarrow ⟶ アーベルの証明 」の解説①。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、構成可能な式の対称性が５次置換（対称式）から偶置換シンメトリーへと破壊されることを解説。アーベルの証明 」の解説②。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、偶置換と奇置換に分類する。アーベルの証明 」の解説➂。「すべての偶置換は３次巡回置換の積で表される」ことの解説。アーベルの証明 」の解説➃（最後）。「任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せる」ことによって、５次方程式には解の公式が存在しないことが証明されることの解説。累乗根の添加 」について重点解説。対称性の破壊 」について重点解説。対称性を恒等置換まで破壊 」することについて重点解説。最初に解の差積を添加して対称性を破壊すること 」は常套手段。「解の和と差の連立」 による２次方程式の解の公式の導出について。対称式ではない解の公式を基本対称式で表す 」ことのついて。定数 ω \bm{\omega} ω カルダノの方法 」を復習カルダノの方法 」と「対称性の破壊 」の関連について巡回置換 』から紐解く群 」について簡単に解説部分群 」について簡単に解説
