書記が数学やるだけ#731 1パラメータ変換群，リー微分の計算

リー代数を考える一歩手前として，1パラメータ変換群，リー微分の計算を行なってみる。

問題

説明

1パラメータ変換群はフローを大域的に見たもので，名の通り群の性質を持つ。

多様体上においてはリー微分が定義される。

解答

1パラメータ変換群の群の性質を確認する。

具体例として回転と平行移動を考える。係数行列の微分が無限小変化であり，このまとまりとして指数を取ることで1パラメータ変換群を求めることができる。

リー微分について具体的に計算していく。Xに関する関数fのリー微分は，f上で評価されたベクトル場Xである。

次にベクトル場のリー微分について，2つのベクトル場 X と Y のリー括弧積 [X,Y]により定義できる。

1形式のリー微分では逆行列を用いる。

これらを組み合わせることで，任意のテンソル場のリー微分を考えることができる。

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