書記が数学やるだけ#767 2次体の単数群

2次体の単数群について，実2次体と虚2次体の違いが顕著に現れる。

問題

説明

2次体の単数群について，実2次体では無限巡回群であるが，虚2次体では有限巡回群である。さらにm=-1とm=-3のときは特別で，それぞれガウス整数およびアイゼンシュタイン整数に該当する。

ガウス整数およびアイゼンシュタイン整数について復習：

解答

虚2次体の場合は，解の範囲が限定されるので容易に示せる。

実虚2次体の場合，段階踏んで示す。まず基本単数が1より大きいこと。

単数の最小の存在を示し，任意の単数が基本単数のn乗と正負で表せることを示す。

この基本単数は，ペル方程式の基本解から求めることができる。

例としてm=2の場合の単数群を示す。

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