書記が数学やるだけ#216 円周上の有理点とピタゴラス数

ピタゴラス数を考えることは，整数論の始まりと言える。

問題

解析幾何に落とし込んで見てみる。本文は原題の誘導を減らしたもので，これくらいなら他大学でも出題されそう。

説明

起点であるピタゴラスの定理の発見については，現代では多くの証明がある。

この定理を満たす互いに素な自然数の組を原始ピタゴラス数といい，以下のピタゴラス数の生成公式がある。

解答

もう一つの交点を求める。

tが有理数であればPは有理点であることが示せる。

ここでPの座標が原始ピタゴラス数の生成公式に対応する点に注目。

これは(4)の準備。

本問は背理法を用いて示す。

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