書記が数学やるだけ#246 広義積分の収束判定

広義積分の収束判定についていくつか取り上げる。

問題

説明

広義積分では無限大が出てくるが，大体の扱い方は普通の積分と同じである。

Cauchyの収束定理は，広義積分でも同じ。

絶対収束についても，数列でやったのと同じことが言える。

広義積分の収束判定には，上からの評価がよく用いられる。

解答

調和級数が発散することの証明。有名どころだと1/2で括る方法や，グラフから求める方法など。

これはDirichlet積分であり過去何度か取り上げたことがある。具体的な値を求めるには複素積分が必要だが，収束性の判定だけなら本範囲でできる。

参考：

Cauchyの判定法に則って収束することを示す。

こちらは下から発散する数列を用意する。

収束判定の代表例について，簡単に証明しておく。

ガンマ積分が収束することは，2種類の収束判定を用いる。

参考：

本記事のもくじはこちら：