書記が数学やるだけ#306 確率分布の収束
確率分布の収束にはいくつか種類がある。
問題
確率分布の収束に関する重要な定理を取り上げる。
説明
確率収束からは，マルコフの不等式やチェビシェフの不等式，大数の弱法則が導出される。
平均2乗収束は，確率収束より強い条件で，計算が容易になることが多い。
分布収束からは，中心極限定理が導出される。
分布収束の方が，確率収束よりも強い条件である。
これを一般化したものが，リンデベルグ・フェラーの定理である。
変形の一つに，リヤプノフの中心極限定理がある。
概収束からは，大数の強法則が導出される。
解答
まずは確率収束に関するものから。見た感じあっけない式にも思えるが，後で頻出することとなる。
大数の弱法則は，比較的容易に示せる。
次に分布収束について。中心極限定理は，特性関数の計算により示すのが一般的。
概収束，大数の強収束については難しいのでここでは概要のみ示す。
一つ具体的な計算を示す。
直感的な計算であれば期待値を直接計算すれば良い（この手の問題は統計検定に頻出，最近では2級でも出題されている）。
今回は，より強い条件で計算が簡単な平均2乗収束で示す。
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