書記が数学やるだけ#944 ヒルベルト空間における射影定理

ヒルベルト空間における射影定理を関数解析の観点から見ていく。

問題

説明

ヒルベルト空間とは，実または複素内積空間であって，さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなす空間である。

ヒルベルト空間の基本的性質して，射影定理が挙げられる。

関数解析学では，正規直交基底の概念を一般の（必ずしも有限次元でない）内積空間に対しても定義することができる。

解答

←：内積の性質を用いて，左辺を内積の形に展開することで容易に示せる。

→：中線定理を前提として，ノルムから内積を逆算して作り出し，これが内積の公理（対称性、正値性、線形性）をすべて満たすことを、中線定理を何度も適用しながらチェックしていくことで証明する。

ℓp 空間の中で、内積空間（ヒルベルト空間）になれるのは p=2 のときだけであることを、簡単なテストベクトルを使って示しておく。

射影定理の証明について，下限の定義より、距離が δ に近づくような M 内の点列を取り，これがコーシー列であることを示すために中線定理を適用する。

直交分解の証明について。

ベッセルの不等式は，「あるベクトルを、正規直交系が張る有限次元の壁（部分空間）に射影するとき、フーリエ係数を係数に選んだときが最も誤差が小さくなる（幾何学的な直交射影）」ことを利用して証明できる。

正規直交系が「空間のすべてを過不足なくカバーする完全な基底（完全正規直交系）」になったとき、ベッセルの不等式の「 ≤ 」が完全に等号「 = 」になり，パーセヴァルの等式が成り立つ。。

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