書記が数学やるだけ#860 道とホモトピーの演算

今回からホモトピーを扱うことにする。

問題

説明

ホモトピーという概念は，ざっくり言うと道やループから図形の穴を調べるものと言える。これは連続写像に一般化することができる。

写像におけるホモトピー・ホモトピックの定義について。これは同値関係であることからホモトピー同値とも呼ばれるが，後に示す位相空間におけるホモトピー同値と区別するため，ここでは単にホモトピックと記載する。

基本群は，ループのホモトピー類の集合で定義される。

解答

ホモトピックは同値関係であることを示すために，反射律・対称律・推移律を確認する。反射律・対称律はほぼ当たり前だが，改めて数式で確認する。

推移律を示すには，新たにHという写像を用意する。

このHは，[0,1]×[0,1]の下半分をF，上半分をGで写す写像となっている。

道の積について，これは2つの道を連結する操作に該当する。

これは左半分と右半分ことの写像から示せる。

結合律は今回で一番手間がかかる。ここで左辺と右辺では道から道へと乗り換える際のsの値が異なり，変形のパラメータtによりsを連続的に変えるようにFを設定する。

αからβでの乗り換えについて，左辺は1/4，右辺は1/2で切り変わるようsを変化させる。またβからγでの乗り換えについて，左辺は1/2，右辺は3/4で切り変わるようsを変化させる。

単位元の存在について，道における単位元は点から動かないことに相当する。

この場合，左辺は1/2，右辺は0で切り替わるように設定すれば良い。

逆元の存在についても同様。

左辺は行って同じところに帰る操作に該当する。

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