書記が数学やるだけ#874 AESの構成
AESの構成についても一つ一つ確認していく。
問題
説明
Advanced Encryption Standard (AES) は，アメリカが2001年に標準暗号として定めた共通鍵暗号アルゴリズムであり，アメリカ国立標準技術研究所（NIST）が公募し，RijndaelがAESとして採用された。AESの構成について，SPN構造のブロック暗号で，SubBytes（Sボックスによる1バイト単位の置換）・ShiftRows（4バイト単位の行を一定規則で左シフト）・MixColumns（ビット演算による4バイト単位の行列変換）・AddRoundKey（ラウンド鍵とのXOR）からなる。
解答
Sboxは，入力に対し有限体GF(2^8)における逆元を計算し，アフィン変換を施したものである。実際の逆元の計算では，11Bのもとでユークリッド互除法を利用して解く。
アフィン変換は以下の式で表される。
MixColumsでは，GF(2^8)上で以下の行列変換を行う。
ではAESの全体像を見ていく。
まず128ビットの平文・鍵を4×4の行列に変換し，S-box変換を行う。S-box変換では，8ビットのうち上位４ビットを行番号，下位４ビットを列番号として，表の数字に変換する。
import numpy as np
# 初期データ（例題のデータ）
plaintext = [[0x32, 0x43, 0xf6, 0xa8],
[0x88, 0x5a, 0x30, 0x8d],
[0x31, 0x31, 0x98, 0xa2],
[0xe0, 0x37, 0x07, 0x34]]
key = [[0x2b, 0x7e, 0x15, 0x16],
[0x28, 0xae, 0xd2, 0xa6],
[0xab, 0xf7, 0x15, 0x88],
[0x09, 0xcf, 0x4f, 0x3c]]
S_BOX = [
[0x63, 0x7c, 0x77, 0x7b, 0xf2, 0x6b, 0x6f, 0xc5, 0x30, 0x01, 0x67, 0x2b, 0xfe, 0xd7, 0xab, 0x76],
[0xca, 0x82, 0xc9, 0x7d, 0xfa, 0x59, 0x47, 0xf0, 0xad, 0xd4, 0xa2, 0xaf, 0x9c, 0xa4, 0x72, 0xc0],
[0xb7, 0xfd, 0x93, 0x26, 0x36, 0x3f, 0xf7, 0xcc, 0x34, 0xa5, 0xe5, 0xf1, 0x71, 0xd8, 0x31, 0x15],
[0x04, 0xc7, 0x23, 0xc3, 0x18, 0x96, 0x05, 0x9a, 0x07, 0x12, 0x80, 0xe2, 0xeb, 0x27, 0xb2, 0x75],
[0x09, 0x83, 0x2c, 0x1a, 0x1b, 0x6e, 0x5a, 0xa0, 0x52, 0x3b, 0xd6, 0xb3, 0x29, 0xe3, 0x2f, 0x84],
[0x53, 0xd1, 0x00, 0xed, 0x20, 0xfc, 0xb1, 0x5b, 0x6a, 0xcb, 0xbe, 0x39, 0x4a, 0x4c, 0x58, 0xcf],
[0xd0, 0xef, 0xaa, 0xfb, 0x43, 0x4d, 0x33, 0x85, 0x45, 0xf9, 0x02, 0x7f, 0x50, 0x3c, 0x9f, 0xa8],
[0x51, 0xa3, 0x40, 0x8f, 0x92, 0x9d, 0x38, 0xf5, 0xbc, 0xb6, 0xda, 0x21, 0x10, 0xff, 0xf3, 0xd2],
[0xcd, 0x0c, 0x13, 0xec, 0x5f, 0x97, 0x44, 0x17, 0xc4, 0xa7, 0x7e, 0x3d, 0x64, 0x5d, 0x19, 0x73],
[0x60, 0x81, 0x4f, 0xdc, 0x22, 0x2a, 0x90, 0x88, 0x46, 0xee, 0xb8, 0x14, 0xde, 0x5e, 0x0b, 0xdb],
[0xe0, 0x32, 0x3a, 0x0a, 0x49, 0x06, 0x24, 0x5c, 0xc2, 0xd3, 0xac, 0x62, 0x91, 0x95, 0xe4, 0x79],
[0xe7, 0xc8, 0x37, 0x6d, 0x8d, 0xd5, 0x4e, 0xa9, 0x6c, 0x56, 0xf4, 0xea, 0x65, 0x7a, 0xae, 0x08],
[0xba, 0x78, 0x25, 0x2e, 0x1c, 0xa6, 0xb4, 0xc6, 0xe8, 0xdd, 0x74, 0x1f, 0x4b, 0xbd, 0x8b, 0x8a],
[0x70, 0x3e, 0xb5, 0x66, 0x48, 0x03, 0xf6, 0x0e, 0x61, 0x35, 0x57, 0xb9, 0x86, 0xc1, 0x1d, 0x9e],
[0xe1, 0xf8, 0x98, 0x11, 0x69, 0xd9, 0x8e, 0x94, 0x9b, 0x1e, 0x87, 0xe9, 0xce, 0x55, 0x28, 0xdf],
[0x8c, 0xa1, 0x89, 0x0d, 0xbf, 0xe6, 0x42, 0x68, 0x41, 0x99, 0x2d, 0x0f, 0xb0, 0x54, 0xbb, 0x16]
]
def sub_bytes(state):
return [[S_BOX[b >> 4][b & 0x0F] for b in row] for row in state]
state_S_BOX = sub_bytes(plaintext)
print("After S_BOX:")
for row in state_S_BOX:
print([hex(b) for b in row])After S_BOX:
['0x23', '0x1a', '0x42', '0xc2']
['0xc4', '0xbe', '0x4', '0x5d']
['0xc7', '0xc7', '0x46', '0x3a']
['0xe1', '0x9a', '0xc5', '0x18']
ShiftRowsでは，sの1~4行目をそれぞれ0,1,2,3バイト左巡回シフトする。
def shift_rows(state):
return [
state[0],
state[1][1:] + state[1][:1],
state[2][2:] + state[2][:2],
state[3][3:] + state[3][:3],
]
state_shift_rows = shift_rows(state_S_BOX)
print("After shift_rows:")
for row in state_shift_rows:
print([hex(b) for b in row])After shift_rows:
['0x23', '0x1a', '0x42', '0xc2']
['0xbe', '0x4', '0x5d', '0xc4']
['0x46', '0x3a', '0xc7', '0xc7']
['0x18', '0xe1', '0x9a', '0xc5']
MixColumnsの結果は以下の通り。
def gmul(a, b):
"""AESのガロア体乗算"""
p = 0
for _ in range(8):
if b & 1:
p ^= a
hi_bit_set = a & 0x80
a <<= 1
if hi_bit_set:
a ^= 0x1b # AESの既約多項式
b >>= 1
return p & 0xFF
def mix_columns(state):
"""AESのMixColumns"""
new_state = [[0] * 4 for _ in range(4)]
for c in range(4):
col = [state[r][c] for r in range(4)]
new_state[0][c] = gmul(col[0], 2) ^ gmul(col[1], 3) ^ col[2] ^ col[3]
new_state[1][c] = col[0] ^ gmul(col[1], 2) ^ gmul(col[2], 3) ^ col[3]
new_state[2][c] = col[0] ^ col[1] ^ gmul(col[2], 2) ^ gmul(col[3], 3)
new_state[3][c] = gmul(col[0], 3) ^ col[1] ^ col[2] ^ gmul(col[3], 2)
return new_state
state_mix_columns = mix_columns(state_shift_rows)
print("After mix_columns:")
for row in state_mix_columns:
print([hex(b) for b in row])After mix_columns:
['0xc1', '0xe3', '0x3e', '0xca']
['0x96', '0xbd', '0x30', '0xc6']
['0x39', '0x52', '0x3f', '0xc7']
['0xad', '0xc9', '0x73', '0xcf']
最後にAddRoundKeyで鍵とのXORをとって1ラウンドが完了する。
def add_round_key(state, key):
return [[state[i][j] ^ key[i][j] for j in range(4)] for i in range(4)]
# 初期ラウンドの AddRoundKey (XOR) 計算
state = add_round_key(state_mix_columns, key)
print("After AddRoundKey:")
for row in state:
print([hex(b) for b in row])After AddRoundKey:
['0xea', '0x9d', '0x2b', '0xdc']
['0xbe', '0x13', '0xe2', '0x60']
['0x92', '0xa5', '0x2a', '0x4f']
['0xa4', '0x6', '0x3c', '0xf3']
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