書記が数学やるだけ#277 2項分布とポアソン分布，超幾何分布の関係

離散確率分布同士の近似の関係についてここで扱う。

問題

超幾何分布の計算はあまり出題されることはないだろうが，一回は計算しておく

参考：2016東大院／情報系にて誘導付きで出題経験あり

説明

超幾何分布は，設定自体は高校数学でよく出てくる話なのだが，いざ計算しようとすると難しい。

解答

連続性定理より，確率分布の一致は特性関数の一致に対応する。

超幾何分布の計算は，2項係数の応用問題である。全確率が1であることは，2項展開して係数比較をする。

参考：

期待値の計算，2項係数の公式を使い全確率の形を作るのが鍵。途中でうまいことxが消える。

分散も同様にして求める。

極限の問題について，久保川『現代数理統計学の基礎』でも扱われているが，解法が難しいので，以下の記事を参考にスターリングの公式による近似を用いた。

参考：

見た目は複雑だが，ほとんどの項が打ち消されて指数の計算にできる。

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