書記が数学やるだけ#821 多重解像度解析
ウェーブレット関数に加えスケーリング関数も含めた多重解像度解析について概要を見ていく。
問題
説明
多重解像度解析（MRA）では，スケーリング関数で基底展開された信号列を，半分の解像度のスケーリング関数とウェーブレット関数による基底展開の和に分解する。
基底展開では射影作用素を用いる：
スケーリング関数とウェーブレット関数の間には，トゥースケール関係が成り立っている。
解答
多重解像度表現について，直和分解により信号空間の階層的分解・並列分解が得られる。
並列分解に射影をかけることで，元の信号を近似成分と詳細成分に分解できる。
例としてハール関数による多重解像度表現を示す。まずはスケーリング係数などを求める。なお，ウェーブレット係数は前回求めた通り：
有限時間区間における多重解像度表現について，以下のように示せることから，近似成分と詳細成分を逐次的に求めることができる。
具体的に，近似成分と詳細成分の和が次の近似成分となる。
実装例として，1次元信号の多重解像度表現を示す。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
# 信号の生成
t = np.linspace(0, 1, 2**7, endpoint=False)
signal = (
np.sin(2 * np.pi * 5 * t) +
np.sin(2 * np.pi * 20 * t)
)
# Haarウェーブレット変換 (多重解像度解析)
coeffs = pywt.wavedec(signal, 'haar', level=4)
# 各レベルの近似成分と詳細成分
approximations = [coeffs[0]] + coeffs[1:]
# 可視化
plt.figure(figsize=(10, 6))
# オリジナル信号
plt.subplot(5, 1, 1)
plt.plot(signal)
plt.title('Original Signal')
plt.xlabel('Sample Index')
plt.ylabel('Amplitude')
# 近似成分と詳細成分
for i in range(4):
plt.subplot(5, 1, i + 2)
plt.plot(approximations[i], label=f'Level {i + 1} Approximation')
plt.plot(coeffs[i + 1], label=f'Level {i + 1} Detail')
plt.title(f'Level {i + 1}')
plt.xlabel('Sample Index')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.legend()
plt.show()
2次元の画像データについては以下の通り。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
from skimage import data
# 画像の読み込み
image = data.camera()
# Haarウェーブレット変換 (2次元)
coeffs2d = pywt.dwt2(image, 'haar')
# 近似成分と詳細成分
approximation = coeffs2d[0]
horizontal_detail = coeffs2d[1][0]
vertical_detail = coeffs2d[1][1]
diagonal_detail = coeffs2d[1][2]
# 可視化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.imshow(approximation, cmap='gray')
plt.title('Approximation')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.imshow(horizontal_detail, cmap='gray')
plt.title('Horizontal Detail')
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.imshow(vertical_detail, cmap='gray')
plt.title('Vertical Detail')
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.imshow(diagonal_detail, cmap='gray')
plt.title('Diagonal Detail')
plt.show()
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