書記が数学やるだけ#705 多様体における写像の微分

多様体から多様体への写像に対して微分を考えていく。

問題

説明

写像の微分について，イメージは以下の通りである。

接ベクトルの係数からはヤコビ行列が出てくる。

解答

fとf・cの局所座標表示を比較する。

合成関数の微分を用いて式変形することで，係数の表示が得られる。

写像の微分が線形写像であることを示すには，局所座標の変換においてヤコビ行列で示せることが言えれば良い。

特に基底の微分に関する変換として，以下の表示を得る。

合成写像の微分について。なお，このことを用いて微分同相による次元の不変性が示される。

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