書記が数学やるだけ#932 リー群とリー代数の具体例

リー群とリー代数について，具体例を通して確認する。

問題

説明

リー群は，群構造を持つ可微分多様体で，その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。

リー代数とは，リー括弧積と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間であり，任意のリー群からリー代数が生じる。

解答

リー群であることのを示すには，(1)部分多様体である(2)群演算が滑らかであることを示せば良い。

部分多様体であることの証明は，以前も扱ったように微分の全射性から正則値定理を適用することで行う。

群の演算について，乗法と反転ともに成分の多項式で表せることから滑らかであることが示せる。

リー代数は，単位元を通る SO(n) 内の滑らかな曲線 A(t) について，微分を実行したのちに単位元 t=0 を代入することで求められる。

so(3) の基底についてリー・ブラケットを計算すると、3次元ベクトルの外積（クロス積）の構造と完全に一致する。例えば、量子力学における角運動量演算子の交換関係 [Jx ,Jy ]=iℏJz  も、基本的にはこの so(3) の代数構造に基づいている。

トーラス上のリー部分群について，傾きが有理数ならば円周と同型である。

リー部分群 H が「埋め込まれている」ための必要十分条件は、H が G の閉部分空間であることである（閉部分群定理）。
・有理数の場合: Hα  は閉集合なので，埋め込まれたリー部分群である。
・無理数の場合: Hα  は閉集合ではない（稠密である）ため、埋め込まれていません。これは「はめ込まれた」だけの部分群と呼ばれる。

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