書記が数学やるだけ#838 母関数によるベルヌーイ数の表示，ベルヌーイ多項式
解析的整数論の入り口としてベルヌーイ数やベルヌーイ多項式は重要である。
問題
説明
ベルヌーイ数について，母関数による表示もある。統計学における母関数については以下を参照：
ベルヌーイ多項式は，ベルヌーイ数に変数をつけて一般化したものである。
ベルヌーイ数は，三角関数などの級数展開にも現れる。
解答
母関数表示から具体的な値を求めるには，マクローリン展開を実際に計算していく。
3以上の奇数のベルヌーイ数が0であることは，マクローリン展開の奇数次項が0であることから言える。
母関数表示から漸化式表示を導出する方法を以下に示す。
本問の具体的な値について，2023大学入学共通テスト追試で出題された。積分と係数比較をするだけというシンプルな問題であった。
本問の背景は，ベルヌーイ多項式を用いて冪乗和公式を示すという，大変興味深い者である。
一般に，ベルヌーイ多項式と冪乗和は定数倍と定数項を除いて一致する。これは，ベルヌーイ多項式の母関数表示から導出できる。
本記事のもくじはこちら：
