書記が数学やるだけ#817 ルベーグ積分の性質

いよいよルベーグ積分を定義していく。

問題

説明

はじめに，リーマン積分とルベーグ積分のイメージを示しておく。

ルベーグ積分は単関数により構成される。

ルベーグ積分は，まず非負関数から構成して，さらに正成分と負成分を合わせることで一般の場合に拡張できる。

ルベーグ積分の性質について，今回は線形性と単調性などを扱い，収束定理は次回扱う。

解答

まず非負可測単関数の積分がwell-definedであることを示す。

単調性・線形性・積分範囲の加法性をまとめて示しておく。

積分の極限について，μ(E)が無限大か否かで場合分けが必要。

ここまでの知識で，一般の非負可測関数の線形性が示せる。

測度空間において，ある性質 P を満たさない点の集合の測度が 0 である場合，ほとんど至るところで（英: almost everywhere，略して a.e）P を満たす，という。例として，積分0の非負可測関数はほとんど至るところで0であることを示す。

一般のルベーグ積分の線形性を示すために，可積分関数の分解を示しておく。

これによりルベーグ積分の線形性が示せた。

最後に具体例を一つ，ディリクレ関数のような関数でリーマン積分不可能である。有理数のルベーグ測度は可算集合であるため0で，測度0を除いた区間でルベーグ積分は値をもつ。

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