書記が物理やるだけ#200 3次元ポテンシャル問題における縮退
2次元以上になると，縮退という現象が生じてくる。
問題
3次元ポテンシャルでいくつか示してみる。
説明
縮退とは，2つ以上の異なったエネルギー固有状態が同じエネルギー準位をとることで，2次元以上の束縛問題において生じうる。
解答
3次元井戸型ポテンシャルについて，変数分離を行い各座標ごとの微分方程式に分解する。
あとは1次元と同様にして解ける。ここで，(x,y,z)=(2,1,1)と(1,2,1)と(1,1,2)では，波動関数は異なるがエネルギーは同じ値を示す，これが縮退である。
3次元調和振動子について。
ここでρ→0とρ→∞の積を用いることで解を示すことができる。
級数解を仮定して係数の条件を示す。
これより縮退度を示すことができる。
なお，縮退は「ある固有値に対応する固有ベクトル（固有関数）が複数存在する」とも言い換えられ，ブラケット記法を導入すると見通しが良くなる。
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