書記が数学やるだけ#736 完全体，フロベニウス写像

ここで完全体であるための条件を見ておく。

問題

説明

完全体であればガロア理論は単純に理解できるものとなる。

解答

名大の本問はフロベニウス写像に基づいている，(2)までは二項定理により容易に示せる。

本題はこちらだが，フェルマーの小定理で瞬殺できる。

正標数の体における補題を示しておく。

これにより既約だが分離的でない体の存在を示すことができる。

完全体では「既約ならば分離的」が成立している。標数0の体は必ず完全体であり，正標数の場合はフロベニウス写像が全射であることが完全体であることの必要十分条件となる。

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