書記が数学やるだけ#694 ファレイ数列の準備

ファレイ数列を示唆するような入試問題を見てみる。

問題

解答

闇雲に小さい数字から当てはめていくのでなく，まず分母を払うことを考える。qをpと整数mに分解して，mとpに関する不等式を立てて解いていく。

条件となる分子の不等式について，分母を払い連立方程式を解けばp,qが得られ，ad-bc=1より最小値が求められる。

このとき生成した分数の分子と分母は互いに素であることは，背理法により示せる。

本問の操作により，以下のような数列が順次生成されていく。この数列をファレイ数列という。

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