書記が数学やるだけ#660 完全系列の分裂と半直積分解

半直積分解について，完全系列の分裂との関連を含めてみていく。

問題

説明

系列による考え方は，後に圏論などで重要になってくる。完全系列とは，各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するものをいう。

半直積分解は直積分解の条件を緩めたもので，片方だけが正規部分群であればよい。

解答

一応，半直積が群であることを確かめておく。

同型であることも復習。

両方が正規部分群の時は直積分解に一致する。

この同型はシローの定理の証明にも用いられる。

半直積分解と短完全列の同値を示す。

具体例をいくつか。手順としては「核→同型→完全系列からfs=1を求める→半直積分解」といった感じで解いていく。

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