書記が数学やるだけ#242 フェルマーの最終定理，n=3の特殊例

以前にフェルマーの最終定理のn=4の場合について扱った。

今回はn=3の特殊例について扱う。

問題

説明

n=3についてはオイラーが証明したとされており，今でいう整数環Z[√3]で因数分解を行うといったものだった。ここで素因数分解の一意性が問題になるのだが，それはまた別に扱うことにする。

解答

左辺を因数分解して，ある程度値の候補を絞っていく。

場合分けをしてそれぞれについて示す。ここで，右辺が素数の3乗なので，パターンが限定される点に注目。

右辺が素数の2乗または1乗であれば，整数解は存在する。

右辺が任意の自然数の3乗の場合については，複素数の知識が必要になる。

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