書記が物理やるだけ#427 線形弾性体の方程式の例

弾性力学における方程式をテンソル解析の観点で見ていく。

問題

説明

「変位」「ひずみ」「応力」の3つの要素を繋ぐ方程式をいくつか見ていく。

解答

ナビエ–コーシー方程式は、変位 ui  を基本未知数とする。変位が求まれば、幾何学的関係と構成則を介して、自動的に平衡条件を満たす応力・ひずみ場が得られる。

ひずみの適合条件は、ひずみ εij  が単一の連続な変位場から導かれるための幾何学的整合性（連続性）を保証する。

ベルトラミ・ミッシェルの適合方程式は、応力 σij  を未知数とする。応力のみで問題が完結するよう、平衡方程式とひずみの適合条件を統合したものである。

2次元（平面応力または平面ひずみ）において、体積力が無視できる場合には、弾性力学の問題は重調和方程式 ∇^4ϕ=0 に集約される。これにより、応力場はエアリーの応力関数を用いた重調和関数の性質として一元的に記述可能となる。

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