書記が数学やるだけ#770 2次体のノルムユークリッド整域

ユークリッド整域について，2次体では色々と興味深い現象が見られる。

問題

説明

ユークリッド整域を簡単に言うと，余りつき割り算が可能な整域である。2次体の整数環について，ユークリッド整域であるためのmは以下のように限られている。

PID・UFDとの関係は重要なので以下にまとめた。まず，ユークリッド整域ならばPIDは常に成り立つが，逆は成り立たない。またPIDならばUFDは常に成り立つが，一般に逆は成立しない。しかし2次体ではUFDならばPIDは成り立ち，両者は同値となる。

以前はガウス整数環（m=-1）について考察したが，今回はこれを一般化する：

解答

ノルムに関するユークリッド整域の補題を示す。

虚2次体について，ユークリッド整域であるのはm= －11, －7, －3, －2, －1のみであることは上の補題から示すことができる。

実2次体については上の方法は使えないので，ここではm=2の場合のみ手計算で示しておく。

ユークリッド整域ならばPIDであることのの証明。

例えばm=-6はPIDでないことから，ユークリッド整域でないことが示せる。

2次体においてはUFDならばPIDが成り立つことの証明，ポイントは剰余環が有限集合であることである。

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