書記が数学やるだけ#656 軌道に関する定理

軌道-固定化部分群定理・バーンサイドの公式・コーシーの定理について。

問題

慶應の問題は小問であったが飛び抜けて難しい。

説明

解答

軌道-固定部分群定理では，固定部分群定理の数と群の数から軌道の数を求める。

軌道の総数について，バーンサイドの公式でも示すことができる。

コーシーの定理は複数に分けて示す。まずxの位数はpの倍数であることから始める。

最終的にxの位数がpに絞られる。

慶應の問題は，バーンサイドの公式を用いることで機械的に解くことができる。各回転により不変な場合の数を数えて求めていく。正攻法はよくわからないが，対称性が重要なことは同じだろう。

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