書記が数学やるだけ#925 ガロア拡大における分解群と惰性群

ヒルベルト理論の初歩的な性質を示す。

問題

解答

分解群 Z: 素イデアル P 自体を動かさないガロア群の元全体の集合

惰性群 T: P を動かさないだけでなく、さらに剰余体 OK /P の各要素も（mod P で）固定する元全体の集合

「p の上の素因子がすべて共役である」という性質は、ガロア群 G がそれらの集合に推移的に作用していることを意味する。この作用において、一つの素因子 P を固定する部分群が分解群 Z である。

剰余体拡大のガロア群 Gˉ は、底の体 F の素イデアルが K でどのように「太る（相対次数 f）」かを支配している。全射準同型 φ:Z→Gˉ は、分解群 Z の対称性のうち、どの部分が剰余体の拡大に寄与しているかを記述している。このとき、核である惰性群 T は、「剰余体には何の影響も与えないが、本体の拡大には寄与している対称性」を表す 。

1. 分解群 Z の位数 (∣Z∣=ef)

ガロア拡大 K/F において、p の上にある素因子の数を g とすると、全体の拡大次数 n は n=efg という関係式で表される。ここで特定の素イデアル P を固定する部分群が分解群 Z であることから，軌道・安定化群の定理より「全体の位数 n=efg」を「素因子の数 g」で割ったものが分解群の位数efとなる。

2. 惰性群 T の位数 (∣T∣=e)

分解群 Z の元は、剰余体（OK /P）の自己同型を引き起こす 。この写像は全射であり、その行き先（剰余体のガロア群）の大きさは、相対次数 f に一致する。この写像の核（剰余体レベルでは何も動かさない元）が惰性群 T であることから，次数はe となる。

分解体 KZ​ において、p′/p は不分岐かつ相対次数が 1 である 。この性質から、分解体 KZ​ は、底にある素イデアル p が g 個の素因子に「分裂」する現象のみを担う中間体であると言える。

一方で、惰性体 KT​ においては、p′′/p は不分岐であり、最上層の拡大 K/KT​ は純分岐となる 。したがって、惰性体 KT​ は、本格的な「分岐」が始まる直前までの情報（素因子の分裂および剰余体の拡大）をすべて含んだ、p に関する「最大不分岐拡大」としての役割を担っている 。

これらの関係をまとめたのが以下の表である。

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