書記が数学やるだけ#920 2次体におけるイデアル類群

イデアル類群について2次体の例を示す。

問題

説明

分数イデアルの定義について。

Kの分数イデアル全体J_K ，単項分数イデアル全体をP_Kとするとき，剰余群J_K/P_Kをイデアル類群という。

解答

任意のイデアル類の中から、ノルムが最小となる原始的な整イデアルを選ぶ。そのイデアルを構成する特定の元のノルムを評価し、体の判別式との関係性を導き出すことで、すべての類において、判別式から定まる一定値以下のノルムを持つイデアルが必ず存在することを証明できる。

もしイデアル類が無限に存在すると仮定すると，それぞれの類が「ノルム MK  以下の代表イデアル」を最低一つ持っているため，ノルム MK  以下のイデアルも無限に存在しなければならなくなる。しかし，ノルム MK  以下のイデアルは実際には有限個しか存在しない。したがって，それらを代表として持つイデアル類の総数（剰余群の位数）も有限でなければならないことが導かれる。

K=Q(√−14) の場合，判別式 d=−56 よりMK =56/3≈4.32，よってノルムが 4 以下の素イデアルを調べれば類群の生成元がわかる。群構造の特定により，[p2 ]の位数が 2，[p3 ] の位数は 4 となることから，類群は位数の 4 の巡回群 Z/4Z と同型である。

p はイデアル類群の要素だが，類群の位数は h なので，p^h は必ず単項イデアルになる。あとはノルムをとることで与えられた二元二次形式の式が得られる。本問は，「どの素数がどの二次形式で表せるか」という類体論への入り口に触れている。

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