書記が物理やるだけ#233 主応力と主せん断応力，モールの応力円

応力について座標変換をすることで，その最大最小を導出することができる。

問題

今回は平面で限定して考える。

説明

応力の座標変換について後で示していく。

せん断応力成分がゼロとなるように座標系を取ったときの垂直応力を主応力といい，その2つの軸は直交する。また，座標系の中で最大となるせん断応力を主せん断応力といい，この軸は主軸に対して45°あるいは135°傾いた線となる。

この変換を図示する方法としてモールの応力円が用いられる。

解答

座標変換については愚直に式変形をすれば出てくる。

ここで変換後の応力の最大最小を求めるには以下の角度の条件を満たせばよく，更にこの時にはせん断応力は0となる。

このことから主応力とその角度が導出できる。

主せん断応力についても同様に考える。

三角関数の合成により，主応力と主せん断応力の関係が円で示される。これがモールの応力円である。

実例を一つ。応力とせん断応力の値から2点を通る円を求め，それぞれの軸の交点を見ることで主応力と主せん断応力が求められる。

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