書記が数学やるだけ#235 微分の公式(1)

微分の定義について確認ができたので，公式の証明を行っていく。

問題

説明

基本形についての公式。

高次導関数の微分は，大抵は複雑な形をしているが，いずれも数学的帰納法により証明できる。

解答

今回は，証明のために増分による表示を用いる。

積の増分を求めて，各項の極限をとることで公式を示す。

商の微分を示すためには，逆数の微分が示せればよい。

合成関数の微分は，無限小の扱いに注意。

逆関数の微分は容易に示せる。

積の高次導関数については，帰納法で正しいことを示す。途中，コンビネーションの公式を用いて変形する。

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